已知P是△ABC所在平面外一点,PA⊥BC,PB⊥AC 求证：PC⊥AB
证明：
作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，垂心为O
∵PA⊥BC，AD⊥BC
PA∩AD=A
PA∈平面PAD
PD∈平面PAD
∴BC⊥平面PAD
∵PO∈平面PAD
∴BC⊥PO
同理：AC⊥PO
∵BC∩AC=C
BC∈平面ABC
AC∈平面ABC
∵PO⊥平面ABC
∵AB∈平面ABC
∴PO⊥AB
∵CF⊥AB
PO∩CF=O
PO∈平面PCF
CF∈平面PCF
∴AB⊥平面PCF
∵PC∈平面PBF
∴PC⊥AB
过P作PO⊥ABC于O，连接OA，OB，OC
PA⊥BC，PO⊥ABC，所以AO⊥BC，（BC垂直于斜线PA，所以BC垂直于射影AO）
PC⊥AB，PO⊥ABC，所以CO⊥AB，（AB垂直于斜线PC，所以AB垂直于射影CO）
所以O为三角形ABC的垂心，
于是BO⊥AC，又PO⊥ABC
故 PB⊥AC。
连接PD,PE,PH,PG.
知:BC垂直于平面PAD,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面&&&)
从而BC垂直于PG.(垂直于平面.就垂直于平面上的任何直线****)
同理:AC垂直于PG.
故PG垂直于平面ABC.(&&&)
从而PG垂直于AB., (****)
而AB垂直于CH, 故AB垂直于平面PHC,(&&&)
从而推出AB垂直于PC (****)
即:PC⊥AB.
这样的证明，老师会叫你用几何证明法和向量证明法，
其实要证明这样的题目很简单，但是大多数不理解，
作为一道看似毫不相干的已知和未知关系，最常见的数学思想就是简化问题
用自己熟悉的知识拿来解题
几何法：令P点在三角形ABC上的射影为M，那么
因为PA⊥BC，PB⊥AC
所以AM⊥BC，BM⊥AC
所以M点事三角形ABC上的垂心
所以CM⊥AB
那么其次还有向量的加减乘除的基本运算方法，那么你可以自己试一下
已知P为三角形ABC所在平面内动点,且向量AP=1\/3向量AB+入向量AC若M=1...
解：1）由图可知，当0＜λ＜2\/3时，点P都在三角形ABC内，而λ的取值范围是0≤λ≤1,所以点P在三角形内部的概率小于2\/3。2）当点P位于三角形外部的概率为2\/5时，则点P位于三角形内部和边上的概率为3\/5，所以0.6×m=2\/3,∴m=10\/9 ...
已知点P为△ABC所在平面上的一点,且 AP = 1 3 AB +t
3 AC ．则由向量的加法的平行四边形法则得： AP = 1 3 AB + 2 3 AC ，由图可知，若点P落在△ABC的内部，则 0＜t＜ 2 3 ．故选D．
如图,已知点P为△ABC所在平面外任一点,点D,E,F分别在射线PA,PB,PC_百 ...
因为 PD\/PA=PE\/PB 所以 在三角形PAB中 DE\/\/AB 因为 PD\/PA=PF\/PC 所以 在三角形PAC中 DF\/\/AC 由 DE\/\/AB DF\/\/AC 且DE交DF于D DE.DF属于平面DEF 所以 得证 （ 是这样想的 你看对不 。。。）
已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三 ...
向量PA， ∴向量PA·向量PB－向量PA·向量PC＝0，∴向量PA·（向量PB－向量PC）＝0， ∴向量PA·向量CB＝0， ∴向量PA⊥向量CB，∴PA⊥CB。同理，由向量PA·向量PB＝向量PB·向量PC，可得：PB⊥CA。由PA⊥CB、PB⊥CA，得：点P是△ABC中CB、CA边上高的交点， ∴点P是△ABC的垂心。
P是△ABC所在平面内一点,且满足 PB + PC =2 AB ,已知△A
=2（ AP + PB ）即 PC - PB = BC =2 AP 故P点在△ABC与AB平行的中位线所在的直线上故S △PAB = 1 2 S △ABC = 1 2 故答案为： 1 2
P为△ABC所在平面外的一点,PA=PB,BC⊥平面PAB,M为PC的中点,N为AB上的...
证明:取PB的中点为E,AB的中点为F,并联结ME,EN,PF.则PF垂直于AB.(等腰三角形的中线)由条件知:此时N为BF的中点.故EN\/\/FP(中位线)故知AB垂直于EN.又EM\/\/BC(中位线).而已知BC垂直于平面PAB,故 BC垂直于AB.从而EM垂直于AB.即AB垂直于两相交直线EM,EN.故AB垂直于它们所决定的平面.故AB也...
设P是△ABC所在平面外一点,P和A、B、C的距离相等,∠BAC为直角。求证...
证明：取BC的中点D，连结PD、AD，∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC∴又PD平面PCB∴平面PCB⊥平面ABC。楼主给分儿
设P是三角形ABC所在平面阿尔法外一点,若PA,PB,PC两两垂直,则P在阿尔法内...
PA，PA，PC，和△ABC（底）构成一个四面体，PA，PB，PC两两垂直，则斜面都是直角三角形。过点P做三个斜面的底边上的高，投影在底面△ABC上，就是△ABC的三条边的高，故P在阿尔法内的摄影是三角形ABC的垂心。
如图,P是△ABC所在平面外的一点,PA垂直于PB,PB垂直于PC,PC垂直于PA,PH...
延长AH交BC于D，连接PD，因为PB=PC=b，PA=a，所以AC= AB=√(a²+b²)，BC=b√2，因为H是△ABC的垂心 ，所以D为BC中点，即BD=CD，所以PD=BC\/2=BD=CD=b√2\/2，则AD=√（AB²-BD²)=√（a²+b²\/2)，依题意可知PA⊥面PBC，所以PA⊥PD，根据...
已知,点P是△ABC所在平面内外一点,∠PAB=∠PAC=60°,∠BAC=90°,AB=A...
过P 作PQ垂直△ABC所在平面，且与平面交于Q，连接QA，QB；则∠QAB=45° QA=QB 所以∠QBA=45° △ABQ为等腰直角三角形；连接PA，PB；因为∠PAB=60° ，PA=AB 则△ABP为等边三角形；过P作AB的垂线交AB于R，连接RQ，则：PR=PA*sin60°=8*√3\/2=4√3，QR=1\/2AB=8*1\/2=4 △...
拱劳安内： 因为P,A,B,C不存在三点共线的情况.所以由三点确定一个平面知道一共有4个面,选D
东乡县13298604466： 已知点p是△ABC所在平面外一点,P,A,B,C可以确定的平面个数() A,1个 B,2个 C,2个 D,4个答案为什么选D - ？
拱劳安内：[答案] 因为P,A,B,C不存在三点共线的情况.所以由三点确定一个平面知道一共有4个面,选D
东乡县13298604466： 设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等.那么三角形ABC是什么三角形? - ？
拱劳安内：[答案] 作两条边的垂直平分线,两线交于一点,过此点作三角型所在的平面的垂线,所得线上平面外的点均是所求点.
东乡县13298604466： 已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心,求证:PH⊥平 - ？
拱劳安内： 因为PA、PB、PC两两互相垂直 所以PA垂直平 因为H是△ABC的垂心 所以AH(AP在平面ABC上的投影)垂直BC BH(BP在平面ABC上的投影)垂直AC CH(CP在平面ABC上的投影)垂直AB 即P在平面ABC上的投影为AH,BH,CH交点H 所以PH垂直平面ABC
东乡县13298604466： P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求 - ？
拱劳安内： P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求证:O是三角形ABC的内心.
东乡县13298604466： 数学`明天早上就要!P是三角形ABC所在平面外一点若P满足下 ？
拱劳安内： P是三角形ABC所在平面外一点.若P满足下列条件:P到三角形ABC三边距离相等,则P点在平面ABC内的射影Q为三角形外心.(外接圆园心) 证明 :∵P到三角形ABC三边距离相等,PM=PN=PK,(ABC所在平面的三条斜线相等)∴QM=QN=QK(三条斜线的射影相等),即Q到三角形ABC三边的距离相等 ∴P点在平面ABC内的射影Q为三角形内心.(内切圆园心)
东乡县13298604466： 设P是三角形ABC所在平面外一点,P到A,B,C的距离相等 - ？
拱劳安内： 过P作PQ⊥面ABC于Q,则Q为P在面ABC的投影,因为P到A,B,C的距离相等,所以有QA=QB=QC,即Q为三角形ABC的中心,因为角BAC为直,所以Q在线段BC上,所以在面PCB上有线段PQ⊥平面ABC,故平面PCB⊥平面ABC
东乡县13298604466： p是三角形abc所在平面外一点,pa=pb,bc垂直于平面pab - ？
拱劳安内： 证明:取AB中点D,连结PD,则 结合PA=PB有PD⊥AB,(以下为向量运算) AB·MN=AB·(1/4BA-1/2(BP+BC))=1/2AB·(1/2BA-BP)=1/2AB·PD=0,即AB⊥MN,得证
东乡县13298604466： 已知点P是△ABC所在平面外一点,点A',B',C'分别是△PAB△PBC△PAC的重心,求证:平面A'B'C'//平面ABC - ？
拱劳安内： 连PA'PB'并延长分别交AB,BC于E,F;连结A'B',EF;则依题意可得:PA':PE=PB':PF=2:3(三角形重心的性质)故A'B'//EF,即A'B'//平面ABC,同理可得B'C'//平面ABC,从而得证.
东乡县13298604466： 高一立体几何证明题1)设P是三角形ABC所在平面外一点,P和A,B,C,角BAC为直角,求证平面PCB垂直于平面ABC2)正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为... - ？
拱劳安内：[答案] (1)P和A,B,C,后面是不是缺东西阿 作PO垂直于BC 连接AO 因为PA=PB=PC 所以BO=CO 又因为角BAC为直角 所以BA=OC 所以PAO全等于POC 所以角POA为90度 PO垂直于OA 所以PO垂直于平面ABC 所以平面PCB垂直于平面ABC (2)作pp'平行...
