1（在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把（S1+S2+S3+…+Sn）/n称为数列{an}的“优化和”，现有一个

（在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把（S1+S2+S3+…+Sn）/n称为数列{an}的“优化和”，现有一个~

解答：
首先，共2010项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2010，若其“优化和”为2011
如果{an}的前n项和表示为Sn：
则有：S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
S4=a1+a2+a3+a4
-----------------
Sn=a1+a2+a3......an （对于该数列，n≤2010 ）
并： （S1+S2+S3+S4+…+Sn）/n
=（S1+S2+S3+S4+…+S2010）/2010 =2011
也就是说：（S1+S2+S3+S4+…+S2010）＝2010 ×2011

下面研究2011项数列
对于有2011项的数列1，a1，a2，a3，…，a2010的数列
假设，其前n项和表示为An：
则有：A1=1
A2=1+a1=1+S1
A3=1+a1+a2=1+S2
A4=1+a1+a2+a3=1+S3
-----------------
An=1+a1+a2+a3......an=1+S(n-1) （对于该数列，n≤2011 ）

进而，有： A1+A2+A3+…+An
=1+(1+S1)+(1+S2)+(1+S3)+........+(1+S(n-1))
=n+(S1+S2+S3+........+S(n-1))
所以n＝2011时
A1+A2+A3+…+A2011=2011+(S1+S2+S3+........+S2010)=2011+2010 ×2011=2011 ×2011
(A1+A2+A3+…+An)/n=(A1+A2+A3+…+A2011)/2011=2011

所以答案是 2011

这是今年湖南高考题
因过程很复杂，请看图
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解：
(S1+S2+...+S2010)/2010=2011
S1+S2+...+S2010=2011×2010
设2011项的前n项和为Tn，则
T1=1
T2=1+S1
T3=1+S2
…………
T2011=1+S2010
(T1+T2+...+T2011)/2011=(2011+S1+S2+...+S2010)/2011
=(2011+2011×2010)/2011
=1+2010
=2011

共2010项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2010，若其“优化和”为2011，则有2011项的数列1，a1，a2，a3，…，a2010的“优化和”为（　2011　）

按照定义[S1+S2+...+S2010]/2010=2011
所以S1+S2+...+S2010=2010*2011
优化和=[1 + (1+a1) + (1+a1+a2)+...+(1+a1+...+a2009)+(1+a1+...+a2010)]/2011
[ 1 + ( 1+S1) + (1+S2) +... + (1+S2010-1) + (1+S2010)]/2011
新的S1 新的S2 新的S3 新的S2010 新的S(2010+1)
=[2011*1+(S1+S2+...+S2010)]/2011 （一共有2011个1和S1+S2+...+S2010）
= [2011+2010*2011]/2011= 1+2010=2011

2011

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迎泽区19833235542： 在数列{an}中,Sn是其前n项和,Sn=1 - an(1)求数列an通项公式.设cn=3an/(2 - an)(1 - an),{cn}的前n项和 - ？
晋炒可宝： 当n=1时,a1=S1=1-a1,得:a1=1/2 当n≥2时,an=S(n)-S(n-1)=[1-a(n)]-[1-a(n-1)] 得: an=a(n-1)-an [an]/[a(n-1)]=1/2=常数,其中n≥2 则数列{an}是以a1=1/2为首项、以q=1/2为公比的等比数列. 则:an=(1/2)^nCn=[3an]/[(2-an)(1-an)]=[3*2^n]/{[2^(n+1)-1]*[2^n-1]=(3)*{1/[2^n-1]-1/[2^(n+1)-1]} 则: 数列{Cn}的前n项的和是Tn,得: Tn=(3)*[(1/1)-1/[2^(n+1)-1] Tn=[3*2^(n+1)]/[2^(n+1)-1]

迎泽区19833235542： 数列{an}中,Sn是前n项和,若Sn=2an - 1,则an=多少 - ？
晋炒可宝： Sn-Sn-1=2an-1-(2a(n-1)-1) an=2an-2a(n-1) an=2a(n-1) an/a(n-1)=2 所以该数列是以2为公比,以S1=2a1-1,即a1=1为首项 所以an=2^(q-1)

迎泽区19833235542： 在数列an中sn是前n项和,若a1=1,an+1=1/3sn则an - ？
晋炒可宝： 由题意Sn 1一Sn=1/3Sn Sn 1=4/3Sn 所以Sn成等比,首项s1=a1=1,公比为4/3 Sn=4/3(n-1) 当n≥2时an=Sn-Sn-1=4/3(n-1)一4/3(n-2) 所以an=1[n=1] an=4/3(n-1)一4/3(n-2) [n≥2] {(n-1)和(n-2)均为指数}

迎泽区19833235542： 在有限数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,我们把(S1+S2+S3+......+Sn)/n称为数列{an}的“均和”？
晋炒可宝： (S1+S2+...+S2010)/2010 = 2011,则S1+S2+...+S2010 = 2011*2010 则(1 + 1+S1 + 1+S2 + ... + 1+S2010)/2011 = (2011 + S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + (S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + 2011*2010/2011 = 2011

迎泽区19833235542： 在数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,a2=2,an*a(n+1)*a(n+2)=an+a(n+1)+a(n+2),且a(n+1)*a(n+2)≠1 - ？
晋炒可宝： .(1) 由题意: a5=2 于是根据前面规律显然有: a6=3, a7=1, a8=2, a9=3, a10=1: a1+a2+a3=a1*a2*a3 即 3+a3 = 2a3 解得 a3 =3 所以 a1+a2+a3 = 6 (2) 由(1): 同理 a2+a3+a4 = a2*a3*a4 即5+a4=6a4 得到 a4=1; 同理 a3+a4+a5 = a3*a4*a5 即4+a5=3a5 得到....+a2010 = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a2008+a2009+a2010) (共有:2010/., a2009=2 a2010=3 则: S2010 = a1+a2+.

迎泽区19833235542： 在数列{an}中,Sn是{an}前n项和,且有Sn=n - 2an (1)证明:{an - 1}是等比数列(2)求{an}的通项公式(3)数列{bn},bn=n(1+an),求{bn}前n项和Tn - ？
晋炒可宝：[答案] Sn=n-2an ,Sn-1=(n-1)-2an-1(n大于1)做差an=1-2an-2an-13an-3=2an-1-2(an-1)/[a(n-1)-1]=2/3是常数,经检验,a1=1/3,a2=5/9,满足上式,所以{an-1}是等比数列an-1=(-2/3)*(2/3)^n-1=-(2/3)^nan=1-(2/3)^nbn=...

迎泽区19833235542： (在有限数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若把(S1+S2+S3+…+Sn)/n称为数列{an}的“优化和”,现有一个 - ？
晋炒可宝： 按照定义[S1+S2+...+S2010]/2010=2011 所以S1+S2+...+S2010=2010*2011 优化和=[1 + (1+a1) + (1+a1+a2)+...+(1+a1+...+a2009)+(1+a1+...+a2010)]/2011[ 1 + ( 1+S1) + (1+S2) +... + (1+S2010-1) + (1+S2010)]/2011 新的S1 新的S2 新的S3 新的...

迎泽区19833235542： 已知数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,S(n+1)=4an+2(n是正整数) - ？
晋炒可宝： 呵呵!~1) 由S(n+1)=4an+2,知S(n)=4a(n-1)+2,两者相减,得 S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)] 由bn=a(n+1)-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1) 因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1) 所以:bn是公比为2的等比数列,由a1=1,s2=4...

迎泽区19833235542： 请问在数列{An}中,Sn是前n项和,1/Sn—1/Sn - 1=1/An成立吗? - ？
晋炒可宝： 那不一定的,例如an=n1/Sn-1/S(n-1)=1/(1+2+...+n)-1/(1+2+...+n-1)=2/[n(n+1)]-2/[n(n-1)]=(1/n)[1/(n+1)-1/(n-1)] 而1/an=1/n,由于1/(n+1)-1/(n-1)≠1,因此这个等式不成立.

迎泽区19833235542： 在数列an中,Sn是其前n项和,已知a1=1,a2=3,1/Sn=1/an - 1/an+1 求证Sn是等比数列 - ？
晋炒可宝：[答案] 证明:1/sn=1/an-1/a(n+1)=1/(sn-s(n-1))-1/(s(n+1)-sn).化成最简得sn/s(n-1)=s(n+1)/sn. 所以是等比数列 楼主这个题目搞错了吧 a2不能是3啊,n=1时,1/s1=1/a1-1/a2 ,代入a1=1,s1=1,a2=3 就不成立了