1(在有限数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若把(S1+S2+S3+…+Sn)/n称为数列{an}的“优化和”,现有一个
解答:
首先,共2010项的数列{an}:a1,a2,a3,…,a2010,若其“优化和”为2011
如果{an}的前n项和表示为Sn:
则有:S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
S4=a1+a2+a3+a4
-----------------
Sn=a1+a2+a3......an (对于该数列,n≤2010 )
并: (S1+S2+S3+S4+…+Sn)/n
=(S1+S2+S3+S4+…+S2010)/2010 =2011
也就是说:(S1+S2+S3+S4+…+S2010)=2010 ×2011
下面研究2011项数列
对于有2011项的数列1,a1,a2,a3,…,a2010的数列
假设,其前n项和表示为An:
则有:A1=1
A2=1+a1=1+S1
A3=1+a1+a2=1+S2
A4=1+a1+a2+a3=1+S3
-----------------
An=1+a1+a2+a3......an=1+S(n-1) (对于该数列,n≤2011 )
进而,有: A1+A2+A3+…+An
=1+(1+S1)+(1+S2)+(1+S3)+........+(1+S(n-1))
=n+(S1+S2+S3+........+S(n-1))
所以n=2011时
A1+A2+A3+…+A2011=2011+(S1+S2+S3+........+S2010)=2011+2010 ×2011=2011 ×2011
(A1+A2+A3+…+An)/n=(A1+A2+A3+…+A2011)/2011=2011
所以答案是 2011
这是今年湖南高考题
因过程很复杂,请看图
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(S1+S2+...+S2010)/2010=2011
S1+S2+...+S2010=2011×2010
设2011项的前n项和为Tn,则
T1=1
T2=1+S1
T3=1+S2
…………
T2011=1+S2010
(T1+T2+...+T2011)/2011=(2011+S1+S2+...+S2010)/2011
=(2011+2011×2010)/2011
=1+2010
=2011
共2010项的数列{an}:a1,a2,a3,…,a2010,若其“优化和”为2011,则有2011项的数列1,a1,a2,a3,…,a2010的“优化和”为( 2011 )
按照定义[S1+S2+...+S2010]/2010=2011
所以S1+S2+...+S2010=2010*2011
优化和=[1 + (1+a1) + (1+a1+a2)+...+(1+a1+...+a2009)+(1+a1+...+a2010)]/2011
[ 1 + ( 1+S1) + (1+S2) +... + (1+S2010-1) + (1+S2010)]/2011
新的S1 新的S2 新的S3 新的S2010 新的S(2010+1)
=[2011*1+(S1+S2+...+S2010)]/2011 (一共有2011个1和S1+S2+...+S2010)
= [2011+2010*2011]/2011= 1+2010=2011
2011
在数列{an}中,首项a1=1,a(n+1)=an+n\/(2^n),(n属于正整数),则通项公式...
根据已知条件a(n+1)=a(n)+n\/(2^n),当n≥2时,可得 a(n)=a(n-1)+(n-1)\/[2^(n-1)]a(n-1)=a(n-2)+(n-2)\/[2^(n-2)]……a(3)=a(2)+2\/(2²)a(2)=a(1)+1\/2 上面式子的左右分别相加,消去相同的项,则 a(n)=a(1)+1\/2+2\/(2²)+3\/(2&...
在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1\/n)^2*an,(1)证明数列{an\/n^2}是...
1.2a(n+1)=(1+ 1\/n)²an=[(n+1)²\/n²]an 2a(n+1)\/(n+1)²=an\/n²[a(n+1)\/(n+1)²]\/(an\/n²)=1\/2,为定值。a1\/1²=1\/1=1 数列{an\/n²}是以1为首项,1\/2为公比的等比数列。an\/n²=1×(1\/2)^(n-1...
在数列{an}中,a1=1,a2=4,a(n+1)=5an-6a(n-1)-2,求该数列的通项
a(n+1) -3^n +1=2an -2×3^(n-1) +2=2[an-3^(n-1)+1][a(n+1)-3^n +1]\/[an-3^(n-1)+1]=2,为定值。a1-3^0 +1=1-1+1=1 数列{an -3^(n-1) +1}是以1为首项,2为公比的等比数列。an-3^(n-1) +1=1×2^(n-1)=2^(n-1)an=3^(n-1) +2^(...
在数列{an}满足a1=0,且an=1\/4(an-1 +3)(n=2,3…)求an???我知道an-an...
这个题不是这么做的,因为an=1\/4(an-1 +3), 可以变形为:(an)-1=1\/4[a(n-1) -1]。变形的过程,设(an)+p=1\/4[a(n-1)+p],移项得到(an)=1\/4a(n-1)-3p\/4,与已知an=1\/4an-1 +3\/4对照得到p=-1.所以(an)-1这个新数列,是个等比数列,然后求出(an)-1=(1\/4)^(n...
在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)\/n]*an+2(n+1),设bn=an\/n,(1)证明数 ...
解:(1)等式两边同除以n+1 a(n+1)\/(n+1)=an\/n +2 a(n+1)\/(n+1) -an\/n=2,为定值。a1\/1=1\/1=1 数列{an\/n}是以1为首项,2为公差的等差数列。又bn=an\/n 数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列。bn=1+2(n-1)=2n-1 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1。(2)an\/n ...
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+2,n属于正整数 1)求数列{an}的通项...
1.a(n+1)=4an+2^(n+1)等式两边同除以2^(n+1)a(n+1)\/2^(n+1)=an\/2^(n-1) +1=2an\/2ⁿ +1 a(n+1)\/2^(n+1) +1=2an\/2ⁿ +2=2(an\/2ⁿ +1)[a(n+1)\/2^(n+1)]\/(an\/2ⁿ +1)=2,为定值。a1\/2+1=2\/2+1=2 数列{an\/2...
在数列{an}中,a1=-1,a(n+1)=(1+1\/n)an+(n+1)\/2^n,
下面用累加法求bn通项公式:b2-b1=1\/2 b3-b2=1\/4 b4-b2=1\/8 ...bn-b(n-1)=1\/2^(n-1)即是: bn-b1=1\/2+1\/4+1\/8+...+1\/2^(n-1)=1-1\/2^(n-1) b1=a1\/1=a1=-1 bn= -1\/2^(n-1)(2)。an=nbn= -n\/2^(n-1)处理这种等差乘等比数列前n项和的方法是...
在数列{An}中,a1=1,An+1=cAn+c^n+1(2n+1)(n∈N+),其中实数c≠0
在递推公式 A(n+1)=cAn+[c^(n+1)]*(2n+1)中 两边都除以c^(n+1)有 [A(n+1)]\/[c^(n+1)]=[An]\/[c^(n)]+2n+1 于是相似地,可以写出 [An]\/(c^n)=A(n-1)\/c^(n-1)+2n-1 A(n-1)\/c^(n-1)=A(n-2)\/c^(n-2)+2n-3 ...A2\/c^2=A1\/c+3 累加上述数式...
在数列{an}中,前n项和为sn,且sn=n(n+1)\/2 ①求数列{an}的通项公式 ②...
解:n=1时,a1=S1=1×2\/2=1 n≥2时,S(n-1)=(n-1)n\/2 an=Sn-S(n-1)=n(n+1)\/2-(n-1)n\/2=n 当n=1时,a1=1,成立 ∴an=n (2)bn=n\/2^n Tn=1\/2^1+2\/2^2+3\/2^3+...+n\/2^n Tn\/2=1\/2^2+2\/2^3+3\/2^4+...+n\/2^(n+1)Tn\/2=Sn-Sn\/2=1\/2...
在数列{an}中,a1=1\/4,a(n+1)=1\/4an+2\/4(n+1)次方 1.令bn=4的n次方乘...
a(n+1)*4^(n+1)=an*4^n+2 设b(n+1)=a(n+1)*4^(n+1) bn=an*4^n 则b(n+1)-bn=2 可见{bn}是公差为2的等差数列 2. 因b1=a1*4=(1\/4)*4=1 bn=b1+2(n-1)=1+2n-2=2n-1 所以an=bn\/4^n=(2n-1)\/4^n Sn=1\/4+3\/4^2+5\/4^3+...+(2n-1)\/4^n...
晋炒可宝: 当n=1时,a1=S1=1-a1,得:a1=1/2 当n≥2时,an=S(n)-S(n-1)=[1-a(n)]-[1-a(n-1)] 得: an=a(n-1)-an [an]/[a(n-1)]=1/2=常数,其中n≥2 则数列{an}是以a1=1/2为首项、以q=1/2为公比的等比数列. 则:an=(1/2)^nCn=[3an]/[(2-an)(1-an)]=[3*2^n]/{[2^(n+1)-1]*[2^n-1]=(3)*{1/[2^n-1]-1/[2^(n+1)-1]} 则: 数列{Cn}的前n项的和是Tn,得: Tn=(3)*[(1/1)-1/[2^(n+1)-1] Tn=[3*2^(n+1)]/[2^(n+1)-1]
迎泽区19833235542: 数列{an}中,Sn是前n项和,若Sn=2an - 1,则an=多少 - ?
晋炒可宝: Sn-Sn-1=2an-1-(2a(n-1)-1) an=2an-2a(n-1) an=2a(n-1) an/a(n-1)=2 所以该数列是以2为公比,以S1=2a1-1,即a1=1为首项 所以an=2^(q-1)
迎泽区19833235542: 在数列an中sn是前n项和,若a1=1,an+1=1/3sn则an - ?
晋炒可宝: 由题意Sn 1一Sn=1/3Sn Sn 1=4/3Sn 所以Sn成等比,首项s1=a1=1,公比为4/3 Sn=4/3(n-1) 当n≥2时an=Sn-Sn-1=4/3(n-1)一4/3(n-2) 所以an=1[n=1] an=4/3(n-1)一4/3(n-2) [n≥2] {(n-1)和(n-2)均为指数}
迎泽区19833235542: 在有限数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,我们把(S1+S2+S3+......+Sn)/n称为数列{an}的“均和”?
晋炒可宝: (S1+S2+...+S2010)/2010 = 2011,则S1+S2+...+S2010 = 2011*2010 则(1 + 1+S1 + 1+S2 + ... + 1+S2010)/2011 = (2011 + S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + (S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + 2011*2010/2011 = 2011
迎泽区19833235542: 在数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,a2=2,an*a(n+1)*a(n+2)=an+a(n+1)+a(n+2),且a(n+1)*a(n+2)≠1 - ?
晋炒可宝: .(1) 由题意: a5=2 于是根据前面规律显然有: a6=3, a7=1, a8=2, a9=3, a10=1: a1+a2+a3=a1*a2*a3 即 3+a3 = 2a3 解得 a3 =3 所以 a1+a2+a3 = 6 (2) 由(1): 同理 a2+a3+a4 = a2*a3*a4 即5+a4=6a4 得到 a4=1; 同理 a3+a4+a5 = a3*a4*a5 即4+a5=3a5 得到....+a2010 = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a2008+a2009+a2010) (共有:2010/., a2009=2 a2010=3 则: S2010 = a1+a2+.
迎泽区19833235542: 在数列{an}中,Sn是{an}前n项和,且有Sn=n - 2an (1)证明:{an - 1}是等比数列(2)求{an}的通项公式(3)数列{bn},bn=n(1+an),求{bn}前n项和Tn - ?
晋炒可宝:[答案] Sn=n-2an ,Sn-1=(n-1)-2an-1(n大于1)做差an=1-2an-2an-13an-3=2an-1-2(an-1)/[a(n-1)-1]=2/3是常数,经检验,a1=1/3,a2=5/9,满足上式,所以{an-1}是等比数列an-1=(-2/3)*(2/3)^n-1=-(2/3)^nan=1-(2/3)^nbn=...
迎泽区19833235542: (在有限数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若把(S1+S2+S3+…+Sn)/n称为数列{an}的“优化和”,现有一个 - ?
晋炒可宝: 按照定义[S1+S2+...+S2010]/2010=2011 所以S1+S2+...+S2010=2010*2011 优化和=[1 + (1+a1) + (1+a1+a2)+...+(1+a1+...+a2009)+(1+a1+...+a2010)]/2011[ 1 + ( 1+S1) + (1+S2) +... + (1+S2010-1) + (1+S2010)]/2011 新的S1 新的S2 新的S3 新的...
迎泽区19833235542: 已知数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,S(n+1)=4an+2(n是正整数) - ?
晋炒可宝: 呵呵!~1) 由S(n+1)=4an+2,知S(n)=4a(n-1)+2,两者相减,得 S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)] 由bn=a(n+1)-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1) 因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1) 所以:bn是公比为2的等比数列,由a1=1,s2=4...
迎泽区19833235542: 请问在数列{An}中,Sn是前n项和,1/Sn—1/Sn - 1=1/An成立吗? - ?
晋炒可宝: 那不一定的,例如an=n1/Sn-1/S(n-1)=1/(1+2+...+n)-1/(1+2+...+n-1)=2/[n(n+1)]-2/[n(n-1)]=(1/n)[1/(n+1)-1/(n-1)] 而1/an=1/n,由于1/(n+1)-1/(n-1)≠1,因此这个等式不成立.
迎泽区19833235542: 在数列an中,Sn是其前n项和,已知a1=1,a2=3,1/Sn=1/an - 1/an+1 求证Sn是等比数列 - ?
晋炒可宝:[答案] 证明:1/sn=1/an-1/a(n+1)=1/(sn-s(n-1))-1/(s(n+1)-sn).化成最简得sn/s(n-1)=s(n+1)/sn. 所以是等比数列 楼主这个题目搞错了吧 a2不能是3啊,n=1时,1/s1=1/a1-1/a2 ,代入a1=1,s1=1,a2=3 就不成立了