如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G,F分别是AD,PB的中点
十几年了，最近突然开始回顾学生时代，只有这立体几何还记得，呵呵。
（1）求证：EF⊥CD；
∵ABCD为矩形
∴CD⊥AD
又∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥CD
∴CD⊥平面PAD，CD⊥PA
∵E、F均为中点
∴EF∥PA
∴EF⊥CD
（2）设G为AD的中点，连接GF，则GF⊥平面PCB
证明：
∵PD=DC，ABCD为正方形
设正方形边长为a
∴PA=√2a
设H为BC中点，连接GH，FH；设O为GH中点，连接FO，EO
∵AB⊥BC，E，O，G，H为中点
∴EO∥BC，GH∥AB
∴EO⊥GH
又∵PD⊥BC，BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD，有BC⊥PC
∵FH∥PC，BC⊥AB，GH∥AB
∴BC⊥平面FGH，BC⊥GF①
∵FO∥PD
∴FO⊥GH，FO=EO=a/2
∴△FGH为等腰三角形
∴GF=FH=PC/2=√2a/2
∵GH=a
∴△FGH为等腰RT△
∴FG⊥FH②
∴FG⊥平面PCB
（3）因为作辅助线很困难，不清楚该如何才能作出DB与平面DEF所成角，因此使用"等体积法"。
设B到平面DEF的距离为h，BD与平面DEF所成角为α，则sinα=h/BD，BD=√2a
三棱锥F-BED就是三棱锥B-DEF，设体积为V
∵FO∥PD
∴FO为三棱锥F-BED的高，FO=PD/2=a/2
∵ABCD为正方形，E为AB的中点
∴S△BED=S正方形/4=a²/4
∴3V=S△BED×FO=a³/8
∵EF=PA/2=√2a/2，DE=√5a/2，DF=√3a/2
∴EF²+DF²=DE²，即△DEF为RT△
∴S△DEF=EF×FD/2=√6a²/8
∴3V=S△DEF×h=a³/8，解得h=√6a/6
∴sinα=h/BD=√3/6
∴α=arcsin(√3/6) (≈16.78°)
此外，根据此题容易建立坐标系的特点，可用向量法求解，以D为原点，DA为x，DC为y，DP为z建立坐标系。
解：（1）证法1，连接AC，BD交于O点，连接GO，FO，EO，如图（1）所示：∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD且EF=12CD，同理GO∥CD且GO=12CD，∴EF∥GO且EF=GO，∴四边形EFOG是平行四边形，∴EO?平面EFOG，又在△PAC中，E，0分别为PC，AC的中点，∴PA∥EO∵EO?平面EFOG，PA?平面EFOG，∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG．（4分）（2）解法1：取CD中点M，连接OM，EM，则OM∥AD，EM∥PD又∵PD平面ABCD，AD?面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥CDPD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴OM⊥平面PCD，∴EM为OE在平面PCD上射影，∵EM⊥EF，∴OE⊥EF，∴∠OEM为所求二面角的平面角，在Rt△OME中，OM=EM，∴∠OEM=45°．∴二面角G-EF-D的大小为45°．（5分）∴二面角G-EF-D的平面角为45°．（3）VC-PAB=VP=ABC=13×SABD×PD=13×12×2×2×2=43．（3分）
解：(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD,又AD⊥CD,∴CD⊥AP,
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA
(2)取PC的中点M.连接GF,FM,DM,GD=1/2AD,∵点F,M分别为PB,PC的中点
∴FM=1/2BC,且FM//BC//GD,∴FM//GD,且FM=GD，故四边形DGFM为平行四边形
∴GF//DM
RT三角形PDC,PD=DC,PM=MC，∴DM⊥PC,
DM在平面ABCD的射影在CD上而BC⊥CD，∴DM⊥BC
∴DM⊥平面PBC，∴GF⊥平面PCB
(3)连接A,过点C作CN⊥PB,连接AN.
∵DB是PB在平面ABCD内的射影且AC⊥DB
∴AC⊥PB,∴PB⊥平面ANC,∴PB⊥AN,故∠ANC即为所求角
RT△ABC内AC=√2AB=2√2.RT△PBC内,PC=√2PD=2√2.BC=2.
CN=PC*BC/PB=2√6/3
同理可得AN=2√6/3
∴cos∠ANC=-1/2,∴∠ANC=120°，即所求角为120°。
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,△PCD为等边三角形,BC=2AB...
（2分）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．∵BC＝2AB，不妨设AB=2，则BC=22，依题意得：A（22，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，3），M（2，1，0），…（3分）∴PD＝(0，?1，?3)，AM=（-<div style="width:...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD...
解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求因为PA=AB=2，∠BAD=60°，所以PB=22，BO=1所以sin∠BPO=BOPB=24…（6分）（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB...
解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．∴ AC→=(1，2，0)，AM→=(0，1，1)，CD→=(-1，0，0)．设平面ACM的一个法向量为 n⇀=(x，y，z)，由...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60...
又知AM⊥面PBD，所以AM⊥MN，即△AMN为直角△ 在直角△PAO中 有PA*AO=AM*PO，而易知AO=根号3，又PO²=PB²-BO²=8-1=7 所以AM=2(根号3)\/(根号7) 而等腰直角△PAD中，易知AN=根号2 所以sin∠ANM=AM\/AN=(根号6)\/(根号7) =>cos∠ANM=(根号7)\/7 即二面角A-PD-B...
如图,在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是矩形,AB=2,AD=a,PD⊥平面ABCD...
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AM=m，DP=t，则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），∴PM＝(a，m，?t)，CM＝(a，m?2，0)，∵PM⊥CM，∴PM?CM=a2+m2-2m=0，∴a2=-m2+2m=-（m-1）2+1≤1，∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，又a＞0...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=A...
(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD。(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD，而PD...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABC...
∴PA⊥CD ∵∠PBA=45° ∴PA=AB=BC=1\/2AD ∵∠ABC=∠BAD=90° ∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2 CD^2=AB^2+(1\/2AD)^2=2PA^2 AD^2=4PA^2 可得：AC^2+CD^2=AD^2 ∴CD⊥AC ∵PA、AC在面PAC上，且PA∩AC=A ∴CD⊥面PAC 又∵CD在面PCD上 ∴面PAC⊥面PCD （2）存在；取...
(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为P...
如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为 轴、 轴、 轴正半轴建立空间直角坐标系 则D（0，0，0），A（ ，0，0），B（ ，1，0） （0，1，0），P（0，0， ） 5分所以 （ ，0， ）， ， 6分∵ · =0，所以MC⊥BD 7分（...
(2014?浙江二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠...
DH2=22a，又∵BD2+AD2=4a2=AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°∴HB=DH2+DB2=102a，∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=PHHB=55…（10分）（Ⅲ）解：在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a…...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120...
平面BGD，OG?平面BGD，所以PA∥面BGD；（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，所以DG与面PAC所成的角是∠DGO．由（1）知：OG＝12PA＝32，在△ABC中，AC＝AB2+BC2?2AB?BC?cos∠ABC＝23，所以OC＝12AC＝3，在直角△OCD中...
鄞残爱罗：[答案] 1.因为PD垂直于底面ABCD,所以PD是四棱锥ABCD的高H=PD=a所以体积p-abcd=Sabcd X H X 1/3=aXaXaX1/3=三分之一乘以a的立方2.连接AC、BD,作BD的中点,为F;连接EF因为E、F分别是PC和AC的中点,所以EF是三角形PAC的中位线...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD垂直于平面ABCD,AD垂直于CD,DB平分角ADC.E为PC中点.AD=CD1.证明PA平行于平面BDE2.证明AC垂直于平面PBD - ？
鄞残爱罗：[答案] 1.连接OE 因为DB平分角ADC且AD垂直于CD 所以OA=OC ,因为P为PC中点,所以OE为三角形PAC的中位线,所以OE//PA 因为OE属于平面BDE PA不属于平面BDE 所以PA//平面BDE 2.PD⊥面ABCD则AC ⊥PD 由(1),PA//平面BDE,则O为...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD垂直平面ABCD,AB平行DC,角BCD等于九十度,求证:PC垂直BC - ？
鄞残爱罗：[答案] 连接BD∵PD⊥平面ABCD,∩BCD∴△PBD△PDC△BCD都是直角三角形∴BP²=BD²﹢PD²BD²=BC²﹢DC²PC²=PD²﹢DC²∴BP²=BC²﹢PC²∴△CBP是直角三角形∴PC⊥BC...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求三棱锥A - BCP的体积. - ？
鄞残爱罗：[答案] 证明:(1)∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, ∴PD⊥BC, ∵∠BCD=90°, ∴BC⊥DC, 又PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD, ∴BC⊥平面PCD, ∵PC⊂平面PCD, ∴PC⊥BC. (2)连结AC, ∵AB∥DC,∠BCD=90°, ∴∠ABC=90°. ∴S△...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥CD;(3)设... - ？
鄞残爱罗：[答案] (Ⅰ)证明:∵E,F分别是AB,PB的中点, ∴EF∥AP. 又∵EF⊄平面PAD,AP⊂平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (4分) (Ⅱ)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AD⊥CD. 又∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥CD,且AD∩PD=D. ∴CD⊥平面PAD, 又∵PA⊂平...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD上⊥平面ABCD,AD⊥CD,且BD平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=l,BC=PC,DB=22(Ⅰ)证明PA∥平面BDE;(Ⅱ)证明AC⊥... - ？
鄞残爱罗：[答案] (Ⅰ)证明:设AC∩BD=H,连接EH,在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点,又E为PC的中点,从而EH∥PA,因为HE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE;(Ⅱ)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面AB...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC=2,G,F分别是AD,PB的中点(1)求证:PA⊥CD(2)证明:GF⊥平面PCB(3... - ？
鄞残爱罗：[答案] (1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD,又AD⊥CD,∴CD⊥AP, ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA (2)取PC的中点M.连接GF,FM,DM,GD=1/2AD,∵点F,M分别为PB,PC的中点 ∴FM=1/2BC,且FM//BC//GD,∴FM//GD,且FM=GD,故四边形DGFM为平行四边...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD垂直于底面ABCD,且底面ABCD为正方形,AD=PD=2,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点 - ？
鄞残爱罗：[答案] 找到取AD中点H,连接FH,∵PE:EC=PF:FD=1:1∴EF‖CD在正方形ABCD中H、G是对边中点HG//CD∴EF//HG所以EFHG在一个平面,又AH:HD=DF:FP=1:1则FH‖PDFH平行平面EFGH,(如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,...
西固区17852377894： (2010•柳州三模)如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC=1,E、F分别是AB、PB的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥CD;(Ⅱ)求... - ？
鄞残爱罗：[答案] 解法一: 证明:(Ⅰ)∵E、F分别是AB、PB的中点, ∴EF∥PA. ∵ABCD是正方形, ∴AD⊥CD. 又PD⊥底面ABCD, ... ＂:{id:＂78917fc1ec61eb4b2f0ac641a943da85＂,title:＂(2010•柳州三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底...
西固区17852377894： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=DC,E、F分别为AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)求DB与平面DEF所成角... - ？
鄞残爱罗：[答案] (1)证明:∵E、F分别是AB、PB的中点,∴EF∥PA∵ABCD为正方形,∴AD⊥CD又PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD∵AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD∴EF⊥CD;(2)设B到平面DEF的距离为h,AB=a,则由题意13S△DE...
