求微分方程

求微分方程通解~

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。
例如：

其解为：

其中C是待定常数；

如果知道

则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
对于方程：


可知其通解：


其特征方程：


根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解
一般的通解形式为：
若

则有


若

则有


在共轭复数根的情况下：

r=α±βi


扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式：F（x,y,y'）=0
标准形式：y'=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源：百度百科-常微分方程
参考资料来源：百度百科-微分方程

A= -a a
b -b

P=[P00,P10]'
P=e^(At) P(0)
先求A的特征值
(t+a)(t+b)-ab=0
t^2+(a+b)t=0
t=0,-(a+b)

把矩阵方程乘开
P00'=-a(p00-p10)
P10'=b(p00-p10)
(bP00+aP10)'=0
bP00+aP10=C=b (代入初始条件)
P10=b(1-P00)/a

P00'=-a(P00-P10)=-aP00+b-bP00
P00'+(a+b)P00=b

积分因子
Q=e^[(a+b)t]
(QP00)'=be^[(a+b)t]

QP00=[b/(a+b)]e^[(a+b)t]+C
P00=b/(a+b)+Ce^[-(a+b)t]
代入t=0
1=b/(a+b)+C
C=a/(a+b)
P00=b/(a+b)+[a/(a+b)]e^[-(a+b)t]
P10=b(1-P00)/a=b/(a+b)-[b/(a+b)]e^[-(a+b)t]

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依安县15818123836： 求微分方程 - ？
星徐清开： 两边同除x y'=y/x+e^(y/x) 令u=y/x dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+udx/dx xdu/dx+u=u+e^u du/e^u=dx/x -e^-u=lnx+c e^(-y/x)=-lnx+c

依安县15818123836： 微分方程求解,过程详细,谢谢 - ？
星徐清开： 求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0的通解 解:Q=y²-3x²;P=2xy;∂P/∂Y=2x≠∂Q/∂x=-6x;所以不是全微分方程. 但 (1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2xy)(2x+6x)=4/y=H(y)是y的函数,故有积分因子μ: μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(4/y)dy]=e^...

依安县15818123836： 微分方程的特征方程怎么求的 - ？
星徐清开： 二阶常系数齐次线性方程的形式为:y''+py'+qy=0其中p,q为常数,其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号,其通解有三种形式: 1、△=p^2-4q>0,特征方程有两个相异实根λ1,λ2,通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]; 2、△=p^2-4...

依安县15818123836： 求解微分方程 在线等 急 - ？
星徐清开： 令y'=p,已知y''+(y')²=0,则 p'+p²=0, p'=-p²,所以 dp/p²=-dx,积分得-1/p=-x,即 x=1/p,p=1/x. y'=1/x,积分,得y=ln|x|+C,(C为任意常数).当x=1时, y'(1)=y(1)=1.得 C=1 故y=1+ln|x|.-------------------(代入原式验证,正确.又x=0时,函数无意义.)

依安县15818123836： 怎样求微分方程的通解? - ？
星徐清开：[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》

依安县15818123836： 求解微分方程 - ？
星徐清开： 解:设y=xt,则t=y/x,y'=xt'+t 代入原方程得xt'+t+t=1/t==>xt'=(1-2t

依安县15818123836： 求微分方程的解 - ？
星徐清开： dy/dt=-50(y-cost)=-50y+50cost 先求对应的齐次方程dy/dt=-50y dy/y=-50dt ln|y|=-50t+C 即y=C e^(-50t) 由常数变易法,令y=C(t)e^(-50t) 代入原方程得C'(t)=50cost e^(50t) 注:令U=∫cost e^(50t)dt C(t)=50U=∫cost d [e^(50t)]=cost e^(50t)+∫sint e^(50t)...

依安县15818123836： 求微分方程4y＂ - 3y' - y=0的通解 - ？
星徐清开：[答案] 求微分方程4y＂-3y'-y=0的通解 特征方程:4λ² - 3λ - 1 = 0 λ1 = 1 λ2 = -1/4 通解为: y = C1*e^x + C2* e^(- x/4)

依安县15818123836： 求微分方程.... - ？
星徐清开： 设x/y=u,x=yu,dx=udy+ydu 原式化为(1+2e^u)(udy+ydu)+2e^u(1-u)dy=0 即(1+2e^u)ydu=(-u-2e^u)dy(1+2e^u)du/(u+2e^u)=-dy/y ln|u+2e^u|=-ln|y|+ln|C| 所以微分方程的通解为x/y+2e^(x/y)=±C/y

依安县15818123836： 用常数变易法求微分方程y' - y=ex的通解? - ？
星徐清开：[答案] 求微分方程y'-y=ex的通解 为了求这个方程的解,先考虑齐次线性方程: dy/dx-y=0,即有dy/y=dx,积分之得lny=x+lnC₁,于是得其通解为y=e^(x+lnC₁)=C₁e^x,这里C₁为任意常数.下面用“参数变易法”求原方程的通解. 为此,把C₁换成x的函数u,...