椭圆的几个定义

做椭圆类型题的所有定义~

LZ您好
椭圆只有2个定义在高中会被提及
第一定义是椭圆上任意一点到两个焦点,距离之和是长轴长(即平面内一点,到2个定点,距离为定值,定值大于两个定点间距离的两点的轨迹为椭圆)
第二定义是椭圆上任意一点,到焦点与到准线距离为离心率(即平面内一点,到定点与定直线距离之比为定值,且该定值在(0,1),轨迹为椭圆)
当然其实还有第三定义,不过现在高中一般都不会教了(第二定义经常也只是一笔带过)
椭圆上有一对称于对称中心的点,与另一个任意点P,若对称的两点与P连线的斜率存在,则两个斜率乘积为定值,大小等于e^2 -1 (即平面内两个总是关于某个点对称的两点,它们与某一定点[注意这个定点不是焦点!]的斜率乘积为定值,且轨迹过该定点,则轨迹是椭圆)
其他诸如短轴,原点,焦点/长轴端点等,构造的三角形,用到的其他性质(勾股定理,弦长公式,还有过定点直线与椭圆方程联立后的韦达定理等),都不是椭圆的定义了

第一定义：
平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。
第二定义：
平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）
其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。
其他定义：
根据椭圆的一条重要性质，也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1。
可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有k应满足<0且不等于-1。


扩展资料：
在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。
也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。
参考资料：百度百科-椭圆

椭圆（Ellipse）是指数学上平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹曲线。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。[1]椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

中文名
椭圆

外文名
ellipse

别称
椭圆形

表达式
|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）

应用学科
数学

更多
椭圆简介
在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

定义
第一定义
平面内与两定点、的距离的和等于常数（）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：

其中两定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为。

可变为

椭圆定义说明
。

第二定义
椭圆平面内到定点（c，0）的距离和到定直线：（不在上）的距离之比为常数（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是（焦点在x轴上），或（焦点在y轴上））。

其他定义
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（）到两定点（）（）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

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温县18445905226： 椭圆的定义 - ？
实放捷宁： 1、定义一:平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹【定长必须大于两定点间距离】 2、定义二:平面内到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹.

温县18445905226： 椭圆的三个定义分别是什么? - ？
实放捷宁：[答案] │PF1│+│PF2│=2a 其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在X轴上];或者y=±a^2/c[焦点在Y轴上]). 根据椭圆的一条重要性质:椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值 定值为e^2-1 可以得...

温县18445905226： 椭圆的定义是怎么说的 - ？
实放捷宁： 椭圆第一定义: 在平面中,到两个定点距离之和为定长(定长大于两点距离)的点的集合为椭圆. 椭圆第二定义: 在平面中,到一个定点与一条定直线的距离之比为定值,且这个定值小于1的点的集合为椭圆.

温县18445905226： 椭圆的第二定义是什么? - ？
实放捷宁： 椭圆是一种圆锥曲线(也有人叫圆锥截线的),现在高中教材上有两种定义: 1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合(该定值大于两点间距离)(这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距); 2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点不在定直线上,该常数为小于1的正数)(该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线).这两个定义是等价的.

温县18445905226： 紧急求助 椭圆的第一定义和第二定义分别为什么? - ？
实放捷宁： 第1定义应该是点到2个固定点的距离之和为定值的轨迹 第2定义应该是点到固定点与点到定直线的距离之比为常数e<1的轨迹

温县18445905226： 椭圆的基本定义 - ？
实放捷宁：[答案] 标准定义的意思是:把两个点固定(假设为A、B),两个点之间拴一根比两个点距离大(2C)的线,把线拉直旋转一周画一条曲线,这个图形就是椭圆. 标准方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0) 第二定义意思是,画出的定点和定直线长相等的曲线,...

温县18445905226： 椭圆的定义及性质 - ？
实放捷宁： 1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 注意:定义中的常数用2a表示,|F1F2|用2c表示,当2a>2c>0时,轨迹为椭圆,当2a=2c...

温县18445905226： 椭圆的定义? - ？
实放捷宁：[答案] 椭圆是平面上动点到两定点的距离之和为常值且这个常值大于两点的直线距离的点之轨迹,也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹.它是 圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线.椭圆在开普勒行星运行三定律中扮...

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温县18445905226： 求高中数学椭圆的定义… - ？
实放捷宁： 到固定两点的距离和为常数的点的轨迹(这个和要大于两点间距离,否则就是线段了)