这道数学分析数列收敛题，该怎么证明呢？
证明：
若an→a,
那么有对所有的e>0,存在自然数N,
当n>N,时 |an-a|N时 a-e
偶数项比较好处理，都有公因式2，奇数项可以放缩成偶数项。很多地方都可以这样
把不等式左边除到右边，右边就只剩λ
把不等式从n=2一直写到n=n
把上述n-1个不等式左右两边都乘起来得到一个新的不等式，会发现左边的分子分母都被约掉了，新不等式的分子为第一个不等式的分子，分母为第n-1个不等式的分母，有边为λ的n-1次方，再把左边的分母乘到右边
两边取极限，由于λ介于（0，1）之间，而乘积的另一项是有界的，因此不等式的右边极限为0，利用柯西收敛判定准则可以证明数列收敛
证明过程有点长，直接看图：
这道题容易出现几种误区，我也被套了几次。感谢楼上@夜枭baby 的解答，给了思路。
用柯西收敛准则是最严密的做法。
望采纳
求问数学分析关于数列收敛的问题!! 命题:任何子列都收敛的数列必定收敛...
作者观点是对的，这句话应为：序列收敛于X，当且仅当他的任何子序列收敛于X。如果他的子序列不收敛到同一值，序列是不收敛的，如：(-1)^n乘以(n+1)\/n不收敛，因为有收敛于+1与-1的两个子序列。详见芦丁数学分析原理
数列收敛的定义是什么?
一、收敛和发散的含义 收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。发散是指：在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。二、数列的概念 数列是特殊的函数，使用函数的方法进行...
收敛数列是怎么定义的
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1\/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1\/n * sin(1\/n) 用1\/n^2 来代替 4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外...
如何理解数列收敛的必要和充分条件
前者通俗，直观，易为初学者所接受,但它比较粗糙，笼统，在理论上应用很不方便；后者十分严密，是进行理论证明的重要工具，但它相当抽象，不易为初学者所理解。因为这样，所以不少数学分析教材中，关于数列的极限,往往首先讲解描述性定义，以增强学生的感性认识；然后再引进精确定。数列有界是数列收敛的必要...
什么是数列的收敛和发散?
相反，发散是指数列或级数的后项与前一项之间的距离越来越大，不趋于任何固定值或无穷大的过程。例如，数列1，-1，1，-1，...，（-1）^n，...就是发散的，因为它没有固定的极限。在数学分析中，研究收敛和发散是非常重要的，因为它们可以帮助我们理解函数的行为以及解决一些数学问题。同时，收敛和...
《数学分析》29 收敛准则第二部分
深入解析：柯西收敛准则与数列极限的探究柯西收敛准则，作为数学分析中的重要工具，为我们理解数列收敛提供了有力的理论基础。它揭示了数列收敛的双重特性——必要性和充分性。首先，让我们来看一下柯西收敛准则的必要性。对于任一收敛数列 （记为 <），当给定任意的 ε，总存在正整数 N，使得当 ...
求数列收敛的技巧有什么?
数列收敛性的判断是数学分析中的一个重要课题。一个数列收敛意味着它有一个明确的极限值，即数列的项在无限项后趋近于一个特定的数值。以下是一些判断数列收敛性的常用技巧：直接计算极限：如果数列的通项公式相对简单，可以直接利用极限的定义和性质来计算极限值。例如，对于几何数列 an = ar^n（其中|...
判断数列是否收敛 数学分析
都是收敛的,第一个 | arctan n \/n^2 |<π\/2*1\/n^2 因此原级数绝对收敛 第二题 | cos n \/n^2 |<1\/n^2 因此也是绝对收敛
求数列收敛的方法有哪些?
数列收敛性的判断是数学分析中的一个重要课题。一个数列收敛，意味着它的项最终会无限逼近某一个确定的值。以下是一些判断数列收敛的常用方法：直接计算极限：如果数列{a_n}的通项公式比较简单，可以直接通过计算极限lim(n→∞) a_n来判断数列是否收敛。如果该极限存在且为有限数，则数列收敛；如果极限...
数学分析 数列 极限:若xn收敛,那么lim (x1+x2+...+xn)\/n=lim xn,lim...
(1)lim (x1+x2+...+xn)\/n=lim xn 没什么好办法，只有用极限的定义了。lim xn=a 设Sn=∑(1->n)xi (x1+x2+x3+...+xn)\/n=Sn\/n= =(Sm+Sn-Sm)\/n=Sm\/n+(Sn-Sm)\/n 这么做的目的在于变化无限的部分为有限的部分加无限的部分 Sm\/n+(Sn-Sm)\/n=Sm\/n +(x(m+1)+x(m+2...
福房养血： 用积分判别法可以判定 sum 1/[kln^2(k)] 收敛 再利用一次比较判别法 ln(1+x/[kln^2(k)]) <= x/[kln^2(k)]
汉寿县15339249506： 数学 数学分析 数列 收敛: 证明收敛的数列是有界的 - ？
福房养血：[答案] 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|N时 a-e
汉寿县15339249506： 高数,数列的收敛性证明若一个数列{xn}的奇数子列和偶数子列都收敛于a,那么请证明{xn}也收敛于a. - ？
福房养血：[答案] 用定义吧. 对任意ε>0,存在对应的K1,使任意k>K1时,│a(2k)-A│K2时,│a(2k+1)-A│
汉寿县15339249506： 如何证明该数列是收敛的Xn=(n - 1)/(n+1)证明这个数列是收敛的...步骤最好详细点俺们只学到收敛数列的性质..太高深的看不懂 - ？
福房养血：[答案] 肯定学了单调有界数列必收敛吧 Xn=(n-1)/(n+1)=1-2/(n+1) 单调..显然单减 有界
汉寿县15339249506： 如何证明数列收敛?? - ？
福房养血： 楼上说有问题. 数列收敛的定义:如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|<q都成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值. 比如数列an=a0+1/n,随着n增大,lim(an)=a0,因此可证明数列{an}是收敛的. 具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程,不可能在这给LZ一一列出来.LZ可参考微积分II的教材,非常详细.
汉寿县15339249506： 高数,数列的收敛性证明 - ？
福房养血： 用定义吧. 对任意ε>0,存在对应的K1,使任意k>K1时,│a(2k)-A│<ε; 存在K2,使任意k>K2时,│a(2k+1)-A│<ε. 取 K0=max{K1,K2},N=2K0+1. 当n>N=2K0+1时, ①若n为偶数2k,则n>N=2K0+1 就是 2k>2K0+1>2K1+1>2K1,k>K1, 恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε; ②若n为奇数2k+1,则n>N=2K0+1 就是 2k+1>2K0+1>2K2+1,k>K2, 恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε, 这样,无论n是偶数还是奇数,恒成立 |a(n)-A|
汉寿县15339249506： 怎么证明数列收敛?收敛的定义是啥?数列xn=1除以1的平方+1除以2的平方+……1除以n的怎么证明数列收敛?收敛的定义是啥?数列xn=1除以1的平方+1除... - ？
福房养血：[答案] 就是证明它有上下极限,xn>=1,x=1+1/1*2+1/2*3+.+1/n*(n+1) 然后裂项,xn=2-1/(n+1) 所以xn
汉寿县15339249506： 证明数列收敛性 - ？
福房养血： 利用“单调有界数列必收敛”的定理来证明 因为Xn=1/2*3/4*...*(2n-1)/2n<1/2*3/4*...*(2n-3)/(2n-2)=X(n-1) 所以{Xn}是单调递减数列 又因为0<Xn<X(n-1)<...<X1=1/2 所以{Xn}是有界数列 综上所述{Xn}收敛
汉寿县15339249506： 如何证明数列是否是收敛数列 - ？
福房养血： 有极限的就是收敛数列,极限不存在的即为发散数列(极限为无穷大也是种特殊的发散).证明该数列不是收敛数列即证明其极限不存在.证明一个数列极限不存在,可以在这个数列中取两个子数列证明其极限不相同.
汉寿县15339249506： 如何证明该数列是收敛的???Xn=(n - 1)/(n1)证明这个数 ？
福房养血： n->∞时,如果数列收敛于某个数,就称为数列收敛.所以只需证明当n->∞时,数列极限存在就行.以下给出证明:(n-1)/(n 1) = [(n 1) - 2)] / (n 1) = (n 1)/(n 1) - 2/(n 1) = 1 - 2/(n 1)而lim 2/(n 1) = 0,所以数列的极限为1证明完毕.
