七年级奥数题及答案

初一奥数题库（带答案）~

初一奥赛自测题
自测题一
甲多开支100元，三年后负
债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和

6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．

8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．

自测题二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：

DA⊥AB．
4．已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)
7．对k，m的哪些值，方程组

至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
自测题三
1．解关于x的方程

2．解方程

其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．
7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

求证：n是4的倍数．
自测题四
1．已知a，b，c，d都是正数，并且
a＋d＜a，c＋d＜b．
求证：ac＋bd＜ab．
2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？


z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值与最小值．
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
自测题五
1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．
2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．
4．证明不等式

5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．
6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．
7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？
8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？
9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？



自测题一


所以 x=5000(元)．

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．
3．因为



时，a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
有

由②有 2x+y=20， ③
由①有y=12-x．将之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)．
5．第n项为

所以



6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．
7．设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
(2)若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．
(3)若m=3时，有

解之得

故 p＋q=8．
8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以


上述两式相加

另一方面，
S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．
因此只需证明
S△AND＝S△CNP＋S△DNP．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP．
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
自测题二
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
∠ADC＋∠BCD=180°，
所以 AD‖BC．
又因为 AB⊥BC，
由①，②
AB⊥AD．

4．依题意有


所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以
(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以

所以有

6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为 y=35000-x，
所以
x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以
1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因为
(k－1)x＝m-4， ①

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．
当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．
8．由题设方程得

z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解为

其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

消去y，得12x-5z=180．它的解是
x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
自测题三
1．化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
当a≠1时，


2．将原方程变形为

由此可解得
x=a＋b+c．
3．当x=1时，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
即所求展开式中各项系数之和为1．

依题意得


去分母、化简得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，


5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以
[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0．
又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．
6．如图1－105所示．在△PBC中有
BC＜PB＋PC， ①
延长BP交AC于D．易证
PB＋PC＜AB＋AC． ②
由①，②
BC＜PB＋PC＜AB+AC， ③
同理

AC＜PA＋PC＜AC＋BC， ④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤
③＋④＋⑤得
AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以

7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得

由①得
16y2=9x2， ③
由②得16y=24＋9x，将之代入③得

即 (24＋9x)2=(12x)2．
解之得

于是

所以两站距离为
9×8＋16×6=168(千米)．
8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．
。

又因为

所以，k是偶数，从而n是4的倍数．
自测题四
1．由对称性，不妨设b≤a，则
ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有
1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化简得
1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．
所以y=0.1=10％，
所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．
3．因为∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2，所以
∠C=2°．
所以
∠A+∠B=178°．
由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如

4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a＋d．依题意有

解之得

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．

不等式组：




所以 x＞2；



无解．

6．设原式为S，则

所以


又

＜0.112-0.001=0.111．
因为


所以

=0.105
即为所求．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得
-1≤x≤1，-1≤y≤1．
所以
y＋1≥0，
x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．
所以
z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)
=｜x+y｜＋x-y＋5．
(1)当x+y+≤0时，
z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7．
(2)当x+y＞0时，
z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7．
由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为7．
8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有
2×3×10=60(个)．
个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有
2×3×8=48(个)．
再加上500这个数，所以，满足题意的数共有
100+60+48+1=209(个)．
9．从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一个数可以任选，有80种选法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有

种选法．
自测题五
1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得


解之得

总件数
xy=8×15=120(件)，
即计划用15天完工，工作的件数为120件．
2．第一列数中第n项表示为2＋(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5＋(m-1)×4．要使
2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．
所以

因为1≤n≤200，所以


所以 m=1，4，7，10，…，148共50项．
3．

x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为
3(a2-p)x＋2(q＋a3)，
所以所求的条件应为

4．令

因为

所以



5．如图1-106(a)，(b)所示．△ABC与△FDE中，

∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE’，DF=AF’，连结F’B．此时，△AE’F’的面积等于三角形DEF的面积．

①×②得

6．不妨设商式为x2+α•x＋β．由已知有
x4＋ax3-3x2＋bx＋3
=(x-1)2(x2+α•x＋β)+(x＋1)
=(x2-2x＋1)(x2＋α• x＋β)＋x＋1
=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2
＋(1＋α-2β)x＋β+1．
比较等号两端同次项的系数，应该有

只须解出

所以a=1，b=0即为所求．
7．因为

所以正方形的边长≤11．
下面按正方形边的长度分类枚举：
(1)边长为11：
9＋2=8+3=7＋4=6+5，
可得1种选法．
(2)边长为10：
9＋1=8＋2=7＋3=6+4，
可得1种选法．
(3)边长为9：
9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5种选法．
(4)边长为8：
8=7+1=6+2=5+3，
可得1种选法．
(5)边长为7：
7=6+1=5＋2=4＋3，
可得1种选法．
(6)边长≤6时，无法选择．
综上所述，共有
1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形．
8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成
2+2＋3+4+5＋6=22个部分．
现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分．
9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．
所以，满足题意的三角形共有7个．

某一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字放在个位上，那么所得到的新的四位数比原来的四位数的一半多3，求原四位数是多少？

设：原四位数为：7000+X。那么，新四位数为：10X+7
由题意得：10X+7=[（7000+X）/2]+3
19X=6992
X=368
那么：原四位数是7368。验证：[（7368/2）+3]=3687

1.某银行定期存款的年利率为百分之2.25，小丽在此银行存入一笔钱，定期一年，扣除利息税后得到本息和20360元，问：她当时存入银行多少元？

2.某企业存入银行甲·乙两种不同性质 不同用途的存款共20万元，甲种存款的年利率是百分之2.75，乙种存款的年利率是百分之2.25，上缴国家利息税率为百分之20，一年后该企业可获得利息共3800元，求甲乙两种存款个多少元。

3.两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长为150米，已知当两辆车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用时间为5秒。 (1）两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用时间各是都少?
(2)如果两车相向而行，慢车速度为8米／秒，快车从
后面追赶慢车，从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少多少秒？

1.设存入X元，由于扣除20%的税率，列方程得
（1+0.0225）×X-0.0225×X×0.2=20360
解得 X=20000

2.设存入甲X万元，则存入乙（20-X）万元，列方程得
0.0275×（1-0.2）×X+0.0225×（1-0.2）×（20-X）=0.38
解得 X=5
注意3800=0.38万
存入甲5万元，存入乙15万元

3.（1）两车速度之和为100/5=20米/秒
慢车经过快车某一窗口所用时间为150/20=7.5秒
（2）由于慢车8米/秒，快车为12米/秒
二者速度差为4米/秒，而从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头 所需 路程为100+150=250米
250/4=62.5秒
共需62.5秒

某公司经营甲.乙两种商品,每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲.乙两种商品公20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元.
(1)该公司有几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大的利润?最大的利润是多少?

(3)若用(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大的进货方案.

一共三种进货方案
1\设甲货进X件,乙货进Y件
则有 X+Y=20 190<=12X+8Y<=200

由X+Y=20 得Y=20-X 代入 得190<=4X+160<=200
30<4X<40
由于X,Y均为整数,所以 X=8 9 10
Y=12 11 10

2\ 每件甲获利2.5万元,每件乙火力2万元,显然甲越多利越多,详细计算也可以
则8/12 方案火力2.5*8+2*12=44万元
9/11 方案火力 2.5*9+2*11=44.5万元
10/10方案火力2.5*10+2*10=45万元
最大利润45万元

3\用最大利润进货,没有总件数限制,但要考虑尽量把钱用完
如果全进甲,能购买3件,火力7.5万元,
全进乙,能购买5件,火力10万元
甲进1件,同时乙进4件,火力10.5万
甲进2件,同时乙进2件,火力9万元
甲进1件,同时乙进4件,火力最多,火力10.5万元

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举报| 2009-01-13 19:53封勇fengyong | 五级
1、一商场把一件服装按进价再加30%标价，现标价是260元，这件服装的进价是多少？
解：设这件服装的进价为x元。
x+30%x=260
130%x=260
x=200
2、小明买了4本练习本和5枝铅笔,他一共用了4.9元。已知每枝铅笔0.5元。练习本每本多少元？
解：设每本练习本x元。
4x+5*0.5=4.9
4x+2.5=4.9
4x=2.4
x=0.6
3、某工厂今年平均每月生产机器80台，比去年平均每月产量的1.5倍还多5台。这个工厂去年平均每月生产机器多少台？
解：设去年平均每月生产机器x台。
1.5x+5=80
x=75除以1.5
x=50
4、如果一件商品降价10%月恰好是原价的一半多80元。那么这件商品的原价是多少？
解：设这件商品的原价为x元。
50%x+80=x-10%x
40%x=80
x=200
5、如果甲、乙两地相距40km，A、B两人分别从甲、乙两地同时相向而行，A步行的速度为5km/h。那么经过多长时间两人才相遇？
解：设xh后两人相遇。
5x+15x=40
30x=40
x=1.5
A
某一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字放在个位上，那么所得到的新的四位数比原来的四位数的一半多3，求原四位数是多少？

设：原四位数为：7000+X。那么，新四位数为：10X+7
由题意得：10X+7=[（7000+X）/2]+3
19X=6992
X=368
那么：原四位数是7368。验证：[（7368/2）+3]=3687

B
1.某银行定期存款的年利率为百分之2.25，小丽在此银行存入一笔钱，定期一年，扣除利息税后得到本息和20360元，问：她当时存入银行多少元？

C
2.某企业存入银行甲·乙两种不同性质 不同用途的存款共20万元，甲种存款的年利率是百分之2.75，乙种存款的年利率是百分之2.25，上缴国家利息税率为百分之20，一年后该企业可获得利息共3800元，求甲乙两种存款个多少元。

D
3.两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长为150米，已知当两辆车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用时间为5秒。 (1）两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用时间各是都少?
(2)如果两车相向而行，慢车速度为8米／秒，快车从
后面追赶慢车，从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少多少秒？

1.设存入X元，由于扣除20%的税率，列方程得
（1+0.0225）×X-0.0225×X×0.2=20360
解得 X=20000

2.设存入甲X万元，则存入乙（20-X）万元，列方程得
0.0275×（1-0.2）×X+0.0225×（1-0.2）×（20-X）=0.38
解得 X=5
注意3800=0.38万
存入甲5万元，存入乙15万元

3.（1）两车速度之和为100/5=20米/秒
慢车经过快车某一窗口所用时间为150/20=7.5秒
（2）由于慢车8米/秒，快车为12米/秒
二者速度差为4米/秒，而从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头 所需 路程为100+150=250米
250/4=62.5秒
共需62.5秒

E
某公司经营甲.乙两种商品,每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲.乙两种商品公20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元.
(1)该公司有几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大的利润?最大的利润是多少?

(3)若用(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大的进货方案.

一共三种进货方案
1\设甲货进X件,乙货进Y件
则有 X+Y=20 190<=12X+8Y<=200

由X+Y=20 得Y=20-X 代入 得190<=4X+160<=200
30<4X<40
由于X,Y均为整数,所以 X=8 9 10
Y=12 11 10

2\ 每件甲获利2.5万元,每件乙火力2万元,显然甲越多利越多,详细计算也可以
则8/12 方案火力2.5*8+2*12=44万元
9/11 方案火力 2.5*9+2*11=44.5万元
10/10方案火力2.5*10+2*10=45万元
最大利润45万元

3\用最大利润进货,没有总件数限制,但要考虑尽量把钱用完
如果全进甲,能购买3件,火力7.5万元,
全进乙,能购买5件,火力10万元
甲进1件,同时乙进4件,火力10.5万
甲进2件,同时乙进2件,火力9万元
甲进1件,同时乙进4件,火力最多,火力10.5万元

F
一列快车长168米，一列慢车长184米。如果两车想、相向而行，从相遇到离开4秒；如果两车同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度？

解： 设快车速度V1 慢车的速度V2
（V1+V2）==（168+184）/4=88
（V1-V2）==（168+184）/16=22
V1=55
V2=33

G
甲乙两人同时从A地到B地,甲骑车,乙步行,甲的速度是乙的3倍还多1千米,甲到达B地后,停留45分钟,然后从B地返回,在途中遇见乙,这时距他们出发正好过了3小时,如果AB两地相距25.5千米,求甲乙速度各是多少?

设乙的速度为x,则甲速度为3x+1，
由题中可知：乙行走的时间为3小时，甲为3-0。75=2。25小时
可得如下方程：
3x+(3x+1)2.25=2x25.5
x=5
3x+1=16
则甲的速度16公里/小时，乙的速度5公里/小时

H
1、 将一个底面直径为12cm，高是20cm的圆柱锻压成地面直径为20cm的圆柱，高是多少？若锻压成长为10cm,宽为5cm的长方体，那么高是多少？

2、 将一个长宽高分别为15cm12cm和8cm的长方体钢块锻造成一个地面半径6cm的圆柱题钢坯，锻造前的钢坯表面积大还是锻造后的表面积大，大多少？

3、 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。
1班的学生组成前队，步行速度为4千米/小时，2班的学生组成后对，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间来回的进行联络，他汽车的速度为12千米/小时
（1） 根据上面的事实提出问题并尝试去解答
（2） 追上前队后，联络员立即返回，经过多长时间与后对相遇？

4、把100分成两部分，是第一个数加3，与第二个数减3的结果相等，这2个数分别是多少？

5、一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25%，下午收割了麦田的20%。结果还剩下6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷？

6、如果某年的五月份有5个星期五，它们的日期之和为80，那么这个月的4号是（ ）
A、星期二 B、星期三 C 、星期五 D、星期日

1、设新圆柱体高为X，则∏*12＾2*20＝∏20＾2*X，解得X＝7.2cm

2、前者表面积为（15*12+15*8+12*8）*2＝792

后者的高为15*12*8/（∏*6＾2）＝40/∏，表面积为∏*6＾2*2+2∏*6*40/∏

＝72*∏+480≈706.08，所以前者大

3、1小时后两队相距4*1＝4千米，联络员追上前队用时4/（12-4）＝1/2小时，

此时两队相距4-（1/2）*（6-4）＝3千米，所以返回的时间是3/（12+6）＝1/6

小时

4、由题意明白二者相差为6，则较小的数＝（100-6）/2＝47，另一个数为100-

47＝53

5、这个太简单了！1-25%－20%＝55%，所以共有6/55%＝120/11公顷

6、设第一个星期五是X日，那么下一个星期五是X+7日，则

X+X+7+X+7*2+X+7*3+X+7*4＝80，解之得X＝2，即2号是星期五，那么4号就是星

期日，选D

1.一条队伍长450米,以每分钟9米的速度前进,某人从排尾追到排头取东西,速度为每秒3米,求此人的往返速。

应该是求往返时间吧?队伍速度是每分9米吗?应该是90米吧?
队伍速度是:90米/分=1.5米/秒

设时间是x.
从排尾到头,是追及问题,时间是:450/(3-1.5)=300秒
从头到尾是相遇问题,时间是450/(3+1.5)=100秒

所以往返时间是:x=450/(3-1.5)+450/(3+1.5)
x=400

答:往返时间是400秒.

2.某班学生要从学校A地到B地春游，两地相距18千米，因为只有一辆汽车，所以把全班同学分成甲乙两组，先让甲组乘汽车，乙组步行，同时出发；汽车到达中途C地，甲组下车步行，汽车回头去接乙组，当把乙组送到B地时，甲组也恰好同时到达，设车速为60千米/时，步行速度为4千米/时，求AC两地的距离。（上下车不计时间）

因为同时出发，又同时到达，可以知道两组人的步行的时间和乘车的时间分别相等。设他们步行了x千米，那么LZ画一个线段图，AC距离为18-x,可以看出汽车在乙组步行的时间内行使的路程为
s=(18-x)+(18-x-x)=36-3x

故得(36-3x)/60=x/4
x=2
AC=18-2=16km

======================================================================
设AC两地相距x，则：
甲组到达C处时，所用时间t1=x/60
在这段时间内乙组前进的距离s1=4t1=4*(x/60)=x/15
则此处与C处相距s2=x-s1=14x/15
那么汽车从C返回到遇上乙组所用时间t2=s2/(v1+v2)=(14x/15)/(60+4)=7x/480
在t2时间内，甲、乙均前进的距离s3=(7x/480)*4=7x/120
因此，甲组最后步行的距离=18-x-(7x/120)
乙组最后乘车的距离=18-(x/15)-(7x/120)
而已知两组同时到达，所以：
[18-x-(7x/120)]/4=[18-(x/15)-(7x/120)]/60
===> x=16
甲组步行的距离=18-16=2
乙组步行的距离=(x/15)+(7x/120)=x/8=2

客车和货车分别在2条平行的铁轨上行驶，客车长150米、货车长250米。如果2车相向而行，那么从2车车头相遇到车尾离开共需要10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒。求2车的速度。
要求答题者用2元1次方程解答，并说明原因。

设客车的速度是x,货车的速度是y.
10(x+y)=150+250 分析：第一次可看成是2车的相遇问题，即速度和*相遇时间=路程（即2车的车长之和）
100(x-y)=150+250 分析：第二次可看成是2车的追及问题，即速度差*追及时间=追及路程（即2车的车长之和）
解之得x=22,y=18

一、选择题（每题1分，共5分）
以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( A )
A．a%． B．(1+a)%． C. D.
2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,
0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( A )
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则( A )
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 的大小关系是( C )

A. ; B. < < ; C. < < ; D. < < .
5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 ( )
A．2组． B．6组．C．12组． D．16组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．
4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3= S1= S2,求S．

3.求方程 的正整数解.

初中数学竞赛辅导
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．

4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x1＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．

14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC‖AE．

15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．

17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．

18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL，BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．

19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．

20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？

24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．

25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 问各有多少种不同情况？

26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？

27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．

28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？

29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．16

30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？

31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？

32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？

33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？

34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？

35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．

｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．

3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．

10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z

11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）
显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．

13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又 ∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°， 所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°， 所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．

14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为 ∠CBF=∠CFB， 所以 ∠ABF=∠CFB．
从而 AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以 ∠ABC=2×55°=110°． ①
由上证知AB‖CD，所以 ∠EDF=∠A=70°， ②
由①，②知 BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．

15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以 ∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ② 由①，② ∠BCD=∠CDG．
所以 BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．
所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．

16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，① 又在△ABC中，∠B=∠C，所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以 由①，②

17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S△CEG=S△BCEE，
从而 所以 SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．

18．如图1－102所示．
由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即 KF=FL． ＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！

20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．

22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25．
所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20•324•52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．

24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．

(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．

26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有 24+24＋6+4＝58
个数大于34152．

27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176(米)．
设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里/小时)．
经检验，x=16海里/小时为所求之原速．

30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．

31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．

32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．

33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．

34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．

35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x•40％＋y•10％+z•50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．

从1、2、3.....99、100中,至少取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数是5的倍数

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