为什么微分方程要用特解？

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微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，例：y''+3y'+2y = 1，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1 s2=-2。

y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，

为二阶常系数非齐次线性方程。可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，

通解代表着这是解的集合。我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。例如，解三元一次方程组，需要三个方程。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。

解:微分方程的有些解不是靠通式解法解出来的，而是靠经验观察出来的，而且有的微分方程的通解就是靠特解求出来的。
解微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ，将特解带入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³，再设微分方程的通解为y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a为任意常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数)；设原微分方程的特解为y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解为y=x，通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x

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鲁甸县19329558562： 什么是微分方程的通解和特解? - ？
揣尝感冒： 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数.比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数. 求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等.而对于非齐次方程而...

鲁甸县19329558562： 为什么常系数非齐次微分方程求通解时是有齐次方程通解加一个特解为什么要这么算, - ？
揣尝感冒：[答案] 答: 因为非齐次方程可以看出是齐次方程和特解方程两个方程的叠加

鲁甸县19329558562： 高阶微分方程的通解,齐次式的解,特殊解,各有什么含义 - ？
揣尝感冒： sinx=1 非齐次 设sinx=0 齐次 解得x=2kπ 2kπ就是齐次解 sinx=1 我们不能确定x等于多少 因为有无数多个解 但是我们随便找出一个 就可以 比如x=π/2或者x=5π/2 任意找一个 这个x=π/2 就是特解 然后 我们说2kπ+π/2 就是sinx=1 的通解 你要说 2kπ+5...

鲁甸县19329558562： 微分方程的特征方程怎么求的 - ？
揣尝感冒： 二阶常系数齐次线性方程的形式为:y''+py'+qy=0其中p,q为常数,其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号,其通解有三种形式: 1、△=p^2-4q>0,特征方程有两个相异实根λ1,λ2,通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]; 2、△=p^2-4...

鲁甸县19329558562： 关于微分方程的解法的问题微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分?求齐次解过程为什么会用到特征根?感觉我的课本没讲到点子上, - ？
揣尝感冒：[答案] 首先,只有线性的微分方程才可以这样解,非线性的不行.对于线性微分算子L,L[u(t)+v(t)]=L[u(t)]+L[v(t)],所以如果x1(t)和x2(t)是方程L[x(t)]=f(t)的任何两个解,必有L[x1(t)-x2(t)]=0,于是只要能求出齐次方程L[x(t)]=0...

鲁甸县19329558562： 特解和通解的关系公式 ？
揣尝感冒： 微分方程中特解和通解的关系公式:通解包含特解,微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数,微分方程是伴随着微积分学一起发展起...

鲁甸县19329558562： 微分方程的通解和特解有什么区别? - ？
揣尝感冒： 通解是这个方程所有解的集合,也叫作解集 特解是这个方程的所有解当中的某一个,也就是解集中的某一个元素

鲁甸县19329558562： 为什么微分方程化成变限积分 - ？
揣尝感冒： 微分方程化成变限积分: 因为此微分方程是一阶线性微分方程,有初值条件,所以,是求特解. 直接代一阶微分方程求特解的公式,就是第三行的式子.

鲁甸县19329558562： 什么事微分方程的特解,通解,,能不能用通俗一点的语言告诉我 - ？
揣尝感冒： 因为满足一个微分方程的解不是只有一个,而是有无数个.所以如果有一个式子能包含满足这个微分方程的所有解的话,那它就是通解,而通解中的任意一个解,就是特解. 举个最简单的例子,dy/dx=1,只要让y=c,就满足这个微分.所以y=c是通解.而y=2是通解中的一个特解.

鲁甸县19329558562： 微分方程的特解存在的条件是什么 - ？
揣尝感冒： y'=f(x,y),f在一个点的某个邻域内,连续且关于y满足liptiz条件,则在这个点的一个邻域,就存在维一解. 连续显然,只要证明Liptiz条件就行. sqrt(y2^2-9)-sqrt(y1^2-9)=(y1-y2)(y1+y2)/(sqrt(y2^2-9)+sqrt(y1^2-9)) 其绝对值<c|y1-y2| c是一个常数,所以满足,所以有唯一解.