求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所截曲面面积

求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积~

求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积是√2π。
由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为Dxy:(x-1)^2+y^2≤1
dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2)
√(（dz/dx）^2+（dz/dy）^2+1)=√2=>dS=√2dσxy
∫∫(∑)dS=∫∫(Dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π
曲面面积求法：
曲面面积把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，
所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。

对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；
柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy=∫∫D √[1+1] rdrdθ=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π

扩展资料：
以原点为顶点的锥面方程是关于 的齐次方程，反之，一个含 的齐次方程 的图形总是顶点位于原点的锥面。
事实上，设 是曲面 上的一点(但不是原点)。即 ，则直线OP上的任意一点M的坐标为
一定也适合方程 ，因为这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面 上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。
一直母线沿着曲导线运动，且始终通过定点(导点)时，所得曲面称为锥面。与柱面相似，锥面是以垂直于轴线的正截面与锥面的交线形状来命名的。若交线的形状为圆，称为圆锥面；若为椭圆，称为椭圆锥面。
若椭圆锥面的轴线与锥底面倾斜时，称为斜椭圆锥面。斜椭圆锥面的正面投影是一个三角形，它与正圆锥面的正面投影的主要区别在于：此三角形不是等腰三角形，三角形内有两条点划线，其中一条与锥顶角平分线重合，是锥面轴线，另一条是圆心连线。
斜椭圆锥面的水平投影是一个反映底圆(导线)实形的圆以及与该圆相切的两转向轮廓线。斜椭圆锥面的侧面投影是一个等腰三角形。
对于锥面，有两种画法：
①在其反映轴线实长的视图中画若干条有疏密之分的直素线，在反映锥底圆弧实形的视图中则画若干条均匀的直素线；
②在锥面的各视图巾均画出若干条示坡线。注意锥面示坡线方向应指向锥顶。
参考资料：百度百科——锥面

对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy

锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)

化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ

锥面方程为：z=r；

柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy=∫∫D √[1+1] rdrdθ=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π

扩展资料：

以原点为顶点的锥面方程是关于  的齐次方程，反之，一个含  的齐次方程  的图形总是顶点位于原点的锥面。

事实上，设  是曲面  上的一点(但不是原点)。即  ，则直线OP上的任意一点M的坐标为

一定也适合方程  ，因为这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面  上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。

一直母线沿着曲导线运动，且始终通过定点(导点)时，所得曲面称为锥面。与柱面相似，锥面是以垂直于轴线的正截面与锥面的交线形状来命名的。若交线的形状为圆，称为圆锥面；若为椭圆，称为椭圆锥面。

若椭圆锥面的轴线与锥底面倾斜时，称为斜椭圆锥面。斜椭圆锥面的正面投影是一个三角形，它与正圆锥面的正面投影的主要区别在于：此三角形不是等腰三角形，三角形内有两条点划线，其中一条与锥顶角平分线重合，是锥面轴线，另一条是圆心连线。

斜椭圆锥面的水平投影是一个反映底圆(导线)实形的圆以及与该圆相切的两转向轮廓线。斜椭圆锥面的侧面投影是一个等腰三角形。

对于锥面，有两种画法：

①在其反映轴线实长的视图中画若干条有疏密之分的直素线，在反映锥底圆弧实形的视图中则画若干条均匀的直素线；

②在锥面的各视图巾均画出若干条示坡线。注意锥面示坡线方向应指向锥顶。

参考资料：百度百科——锥面

• 方法一

  对于z=f(x,y),曲面面积为
  A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
  锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割
  则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
  化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
  锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ
  əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ
  (əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1
  ∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy

  =∫∫D √[1+1] rdrdθ

  =√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ
  =√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π
  

• 方法二：详见下图
  

先画草图，再求积分就行

圆锥面z=√(x^2+y^2)在抛物柱面z^2=2x下方的部分。
设x=rcosu,y=rsinu,
S=∫<0,2π>du∫<0,2cosu>rdr
=∫<0,2π>(2cosu)^2/2du
=∫<0,2π>(1+cos2u)du
=2π。

√2π
锥面只有上半部分
S=∫∫D √2 rdrdθ
最后∫[0-π/2](4√2cos^2θ)转化成∫[0-π/2](2√2cos2θ+1)

---

曲水县18873964154： 求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积得出二重积分式子后,我想将以用x=pcosq,z=psinq化成极坐标式子求解,可否? - ？
艾仁塞替：[答案] 不需要那样做 由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为Dxy:(x-1)^2+y^2≤1 dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2) √((dz/dx)^2+(dz/dy)^2+1)=√2=>dS=√2dσxy ∫∫(∑)dS=∫∫(Dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π

曲水县18873964154： 求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积. - ？
艾仁塞替：[答案] 由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为Dxy:(x-1)^2+y^2≤1dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2)√((dz/dx)^2+(dz/dy)^2+1)=√2=>dS=√2dσxy∫∫(∑)dS=∫∫(Dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π...

曲水县18873964154： 求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所截曲面面积.请问图像是什么样的? - ？
艾仁塞替： 如图: 恕我无能呀!

曲水县18873964154： 一道高数几何题求锥面z=根号下(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分曲面的面积 - ？
艾仁塞替：[答案] 答案详见图片:

曲水县18873964154： 求第一类曲线积分∬z ds,其中锥面z=√(x^2+y^2 )在柱体x^2+y^2≤2x内的部分 - ？
艾仁塞替：[答案] { z = √(x^2 + y^2) { x^2 + y^2 = 2x ==> (x - 1)^2 + y^2 = 1

曲水县18873964154： 求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积 答案是根2乘以π 求过程 - ？
艾仁塞替： 由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为Dxy:(x-1)^2+y^2≤1 dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2) √((dz/dx)^2+(dz/dy)^2+1)=√2=>dS=√2dσxy ∫∫(∑)dS=∫∫(Dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π

曲水县18873964154： 求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影. - ？
艾仁塞替： 要求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影 可以分开求锥面z=√ (x^2+y^2)在xoz面的投影,和柱面z^2=2x在xoz面的投影,这两个投影重叠部分即为锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影. 做出图形,令y=0,可...

曲水县18873964154： 设锥面z=√(x^2+y^2),圆柱面x^2+y^2=2ax (a>0),求:圆柱面被锥面和xOy坐标平面所截部分的面积 - ？
艾仁塞替：[答案] 8*a^2. 这道题目用三重积分可以做出来. 不过过程相对繁琐点. 你查一下书上知识点应该就没问题.

曲水县18873964154： 高数问题求教求锥面z=根号(x^2+y^2)被抛物面z^2=2ax(a>0)所截下曲面的质心坐标.(解答上说该曲面的投影区域Dxy={(x,y)|(x - a)^2+y^2 - ？
艾仁塞替：[答案] 答: 所截曲面可以这样求: z1=z2,所以√(x²+y²)=√(2ax) 即:x²+y²=2ax 即:(x-a)²+y²=a² 所以投影区域就是(x-a)²+y²

曲水县18873964154： 求锥面z=根号下x^2+y^2、圆柱面x^2+y^2=1及平面z=0所围立体体积.求解,高等数学 - ？
艾仁塞替： V =∫<0,2π>dt∫<0,1>r*rdr =2π/3.