1到n的立方和公式的推导过程
an
= n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn
=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
Tn
=b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]
=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)
=(1/4)[n(n+1)]^2
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.
∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2
=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)
=(1/4)(n^4+2n^3+n^2)
=[(1/2)n(n+1)]^2
=(1+2+3+…+n)^2
[附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴n^2=(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2=(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3=......=(1/6)n(n+1)(2n+1)]
方法二：数学归纳法
当n=1时，左边1^3=1， 右边1^2=1
左边=右边
假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+............+k)^2
则当n=k+1时
1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3
=(1+2+3+............+k)^2+(k+1)^3 1+2+3....+k=k(k+1)/2 等差数列
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)
=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+1+1)/2]^2
=(1+2+3......+k+k+1)^2 1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2 也是等差数列
所以当n=k+1等式也成立
所以，1^3+2^3+3^3+........+n^3=（1+2+3+........+n)^2
请教从1到n的立方的求和公式,
Sb=(n-1)n(n+1)(n+2)\/4.则S（n）=Sb+1+2+.+n=Sb+n(n+1)\/2=(n(n+1))^2\/4
1到n的立方和公式的推导过程
=(1\/4)(n^4+2n^3+n^2)=[(1\/2)n(n+1)]^2 =(1+2+3+…+n)^2 [附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1\/6)n(n+1)(2n+1)证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 ∴n^2=(1\/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1\/3 ∴∑i^2=(1\/3)[(n+1)^3-1]-(1\/2)n(n+1)-n\/3=.....
1到N的平方和,立方和公式是怎么推导的
立方和Sn =[n(n+1)\/2]^2，推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，...2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)...
1的立方加到n的立方的规律
从1开始自然数的立方和公式:[n(n+1)\/2]^2 已知 0次方和的求和公式ΣN^0＝N+1 1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)\/2 2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)\/6 用恒等式公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1 两边分别求和X＝0到N的情形，特别注意左边可以逐项化减 ...
1到N的平方和,立方和公式是怎么推导的?
2、1到N的立方和推导:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)\/2]^2 推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，...2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...
1的立方;+2的立方;+3的立方;+4的立方;……+n的立方=?
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+...+N^3=1\/4 (N^4+2N^3+N^2)即 1^3+2^3+3^3+...+N^3= 1\/4 [N(N+1)]^2 大功告成！立方和公式推导完毕 1^3+2^3+3^3+...+N^3= 1\/4 [N(N+1)]^2
1的立方加到N的立方、公式推导过程详解、
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]=(2n^2+2n+1)(2n+1)=4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+...
求1方+2方+3方+4方……n方 的公式 及 推导过程
1到n的立方和公式的推导过程 证明，方法一： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1. ∴n^3=(1\/4)[(n+1)^4-n^4]-(3\/2)n^2-n-1\/4 ∴左边=∑i^3=(1\/4)[(n+1)^4-1]-(3\/2)*(1\/6)n(n+1)(2n+1)-(1\/4)n-(n+1)n\/2 =(1\/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-...
n项立方和公式
a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,》 a1^3+a2^3+…+an-1^3=Sn-1^2,二式做差： an^3=Sn^2-Sn-1^2=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）俩边除以an，an^2=Sn+Sn-1 =an+Sn-1+Sn-1=+2*Sn-1 （an+1 中n+1是下脚标） an+1^2=an+1+2*Sn 再做差： an+...
求证1到n的立方和为什么等于(1+2+……+n)的平方
即n=k+1时也满足 综合(1)(2)知 1^3+2^3+~~~+n^3 =[n(n+1)\/2]^2 如果学到微积分的话，你会发现自然数的平方和，立方和，4次方和，5次方和...等等，都有计算公式，它们都只是泰勒公式的一个简单特例而已。如果是初等数学爱好者，教你一个可以推导出3次方和的方法，你可以用这个方...
才俩肥儿：[答案] 证明,方法一:(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)=...
金水区13972627060： 1到n的立方和公式的推导过程 - ？
才俩肥儿： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 红梅回答那个是和立方公式... 这个公式很简单的,一般是作为结论来使用,没有谁最早证明一说.你可以从和立方公式中反向推导. 此外,如果你是求自然数前N项的立方和,那么下面这个是推导过程. (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1 上式从1到k求和: 得(k+1)^4=1+4(1的立方+2的立方+3的立方............+k的立方)+ 6(1的平方+2的平方+3的平方............+k的平方)+ 4(1+2+3+.........+k)+k 代入平方和公式和自然数前N项和公式即可
金水区13972627060： 正整数1到N的平方和,立方和公式是怎么推导的?其中奇数项偶数项的和又是如何推导的?如题 - ？
才俩肥儿：[答案] 平方和n(n+1)(2n+1)/6 推导:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 . 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这n个等式两端分别相加,得: (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于1...
金水区13972627060： 怎样推导从1到n的平方和公式 ？
才俩肥儿： 2³=(1 1)³=1 3 3 13³=(1 2)³=1 3*2² 3*2 2³...(1 n)³=1 3*n² 3*n n³两边相加2³ 3³ ... n³ (1 n)³=n 3(1 2² ... n²) 3(1 2 ... n) 1 2³ 3³ ... n³ 整理得:S=n(n 1)*(2n 1)/6
金水区13972627060： 立方和公式的推导 - ？
才俩肥儿：[答案] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 红梅回答那个是和立方公式... 这个公式很简单的,一般是作为结论来使用,没有谁最早证明一说.你可以从和立方公式中反向推导. 此外,如果你是求自然数前N项的立方和,那么下面这个是推导过程. (n+1)^4=n^4+4n^3...
金水区13972627060： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 - ？
才俩肥儿：[答案] 平方和的推导利用立方公式: (n+1)³-n³=3n²+3n+1 ① 记Sn=1²+2²+....+n², Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2 对①式从1~n求和,得: ∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1 (n+1)³-1=3Sn+3Tn+n 这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6 类似地,求立方和利用4次...
金水区13972627060： 1到n的三次方和公式 ？
才俩肥儿： 1到n的三次方和公式是1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)]²/4,立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式.该公式的文字表达为:两数和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和.如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x^3=a,那么x叫做a的立方根.在平方根中的根指数2可省略不写,但三次方根中的根指数3不能省略,要写在根号的左上角.
金水区13972627060： 1的立方加到N的立方、公式推导过程详解、 - ？
才俩肥儿： 1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2 推导过程: (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)...
金水区13972627060： 正整数的立方和的求和公式是什么?1立方+2立方+3立方+.+n立方=? - ？
才俩肥儿：[答案] 1^3=1立方, 1^3+2^3=1*1^2+2*2^2=1^2+2^2+2^2=1^2+2*1*2+2^2=(1+2)^2 后面以此类推 1^3+2^3+3^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2=n^2*(n+1)^2÷4
金水区13972627060： 1的立方+到N的立方的公式?. - ？
才俩肥儿：[答案] [n(n+1)]^2/2
