1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的

正整数1到N的平方和，立方和公式是怎么推的？~

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，
推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

an
= n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn
=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
Tn
=b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]
=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)
=(1/4)[n(n+1)]^2

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，

推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理后得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　

代人上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

扩展资料：

平方和就是2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方和公式：  ，　即 。

证法五 （拆分，直接推导法）：

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

...

(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+...+[2n-1]

求和得：

……(*)

因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

分解步骤如下：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解题时常用它的变形：

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)　和　a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加：

正整数范围中 

注：可用数学归纳法证明

推导1到N的平方和的公式可以使用数学归纳法。我们首先假设公式对于n=k成立，然后利用数学归纳法证明在n=k+1时也成立。
1. 假设公式对于n=k成立：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1) / 6
2. 证明公式对于n=k+1也成立：
考虑1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2，我们可以将它拆分成两部分：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 和 (k+1)^2
根据假设，我们知道1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1) / 6
而 (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1
将这两部分相加：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1) / 6 + (k^2 + 2k + 1)
化简上式：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 3k^2 + 2k) / 6 + (k^2 + 2k + 1)
继续化简：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1) / 6
合并同类项：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 4k^2 + 3k + 1) / 6
这正是n=k+1时平方和的公式。所以，根据数学归纳法，我们可以证明1到N的平方和的公式为：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = N(N+1)(2N+1) / 6
同样地，我们可以使用数学归纳法推导1到N的立方和的公式。假设公式对于n=k成立，证明对于n=k+1也成立。最终我们得到1到N的立方和的公式为：
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (N(N+1) / 2)^2

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，
推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

an
= n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn
=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
Tn
=b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]
=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)
=(1/4)[n(n+1)]^2

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金平区14752253607： 正整数1到N的平方和,立方和公式是怎么推导的?其中奇数项偶数项的和又是如何推导的?如题 - ？
伊叙藿香：[答案] 平方和n(n+1)(2n+1)/6 推导:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 . 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这n个等式两端分别相加,得: (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于1...

金平区14752253607： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 - ？
伊叙藿香：[答案] 平方和的推导利用立方公式: (n+1)³-n³=3n²+3n+1 ① 记Sn=1²+2²+....+n², Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2 对①式从1~n求和,得: ∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1 (n+1)³-1=3Sn+3Tn+n 这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6 类似地,求立方和利用4次...

金平区14752253607： 1到n的立方和公式的推导过程 - ？
伊叙藿香： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 红梅回答那个是和立方公式... 这个公式很简单的,一般是作为结论来使用,没有谁最早证明一说.你可以从和立方公式中反向推导. 此外,如果你是求自然数前N项的立方和,那么下面这个是推导过程. (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1 上式从1到k求和: 得(k+1)^4=1+4(1的立方+2的立方+3的立方............+k的立方)+ 6(1的平方+2的平方+3的平方............+k的平方)+ 4(1+2+3+.........+k)+k 代入平方和公式和自然数前N项和公式即可

金平区14752253607： 立方和 和平方和的公式以及推到 我是都是n项相加的 - ？
伊叙藿香：[答案] 自然数平方和:Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6自然数平方和:Sn=[n(n+1)/2]^2下面推平方和(立方和的推导方法类似,可以参照平方和的推导方法)我们知道(n+1)^3-n^3 =3*n^2 +3n +1n^3 -(n-1)^3=3*(n-1)^2+3(n-1)+1(...

金平区14752253607： 怎样推导从1到n的平方和公式 - ？
伊叙藿香： 2³=(1+1)³=1+3+3+1 3³=(1+2)³=1+3*2²+3*2+2³ ... (1+n)³=1+3*n²+3*n+n³ 两边相加 2³+3³+...+n³+(1+n)³=n+3(1+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1+2³+3³+...+n³ 整理得: S=n(n+1)*(2n+1)/6

金平区14752253607： 1平方加到n平方的推导是? - ？
伊叙藿香： 要推导1平方加到n平方的结果,可以使用数学归纳法.首先,我们需要找到1到n的平方数的和的公式.观察一下前几个平方数的和:1^2 = 11^2 + 2^2 = 51^2 + 2^2 + 3^2 = 141^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30可以看出,1到n的平方数的和可以表示为:...

金平区14752253607： 怎样推导从1到n的平方和公式 ？
伊叙藿香： 2³=(1 1)³=1 3 3 13³=(1 2)³=1 3*2² 3*2 2³...(1 n)³=1 3*n² 3*n n³两边相加2³ 3³ ... n³ (1 n)³=n 3(1 2² ... n²) 3(1 2 ... n) 1 2³ 3³ ... n³ 整理得:S=n(n 1)*(2n 1)/6

金平区14752253607： 数列和的求法,详细过程,只有结果不采纳!第一个:从1到n的平方和第二个:从1到n的立方和第三个:1*2+2*3+.+n*(n+1)的和第四个:1*2*3+2*3*4+.+n*(n+1)... - ？
伊叙藿香：[答案] 1、求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手 因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 …… (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+...

金平区14752253607： 如何在EXCEL中用公式求一组数据的平方和或者立方和,比如1,2,3,4,5这五个数的平方和与立方和?？
伊叙藿香： 告诉你一种最简单的求N次方和的公式,比如: 平方和:{=SUM((A1:A5)^2)} 立方和:{=SUM((A1:A5)^3)} N次方和:{=SUM((A1:A5)^N)} 特别注意: 在输入完公式后千万不要按Enter,而应按Ctrl+Shift+Enter(也就是大括号的输入),否则计算会出现错误.

金平区14752253607： 平方和与立方和的推导公式？
伊叙藿香： a方+b方=(a+b)方+2ab 这个有问题 应该是 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab 或者 a^2+b^2=(a-b)^2+2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab (a+b)^2-2ab=(a+b)(a+b)-2ab=a^2+ab+ab+b^2-2ab=a^2+b^2 a^2+b^2=(a-b)^2+2ab (a-b)^2+2ab=(a-b)(a-b)+2ab=a^2-ab-ab+b^2+2ab=a^2+b^2 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3