费马点是什么？若有一个普通带有60度的三角形，AB与BC为夹边，费马点为P，PA=3，且PC=4，求PB

费马点问题~

费马和费马点

【费马简介】
费马(Pierre de Fermat，1601～1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。
费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。

【费马的贡献】
◆ 对解析几何的贡献
◆ 对微积分的贡献
◆ 对概率论的贡献
◆ 对数论的贡献

【对费马的评价】
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克•牛顿、戈特弗里德•威廉•凡•莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。


【费马贡献之费马点】

【定义】
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

【判定】
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

【证明】
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。

【性质】
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点。
(3)若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求。
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合。
平行四边形中：
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

【找法】
三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

【例题】
若点P为锐角三角形ABC的费马点，且角ABC=60度 ，PA=3，PC=4，则PB的值为________。
答案：2√3
解析：以B为顶点，往BC边外旋转BPC 60度得到BDE，根据费马点的定义，以及旋转，有：
1) ∠APB=120度
2) ∠BDE=∠BPC=120度
3) A、P、D、E四点共线
4) △BPD是等边三角形
5) ∠CBE=60度
因为∠ABC=60度，所以6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度
根据4)、6)有：7) ∠ABP + ∠DBE=60度
因为∠ABP + ∠BAP=60度，所以8) ∠DBE=∠BAP
由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE，于是AP/BP=BD/DE=BP/CP
从而BP^2=AP*CP，即BP=2√3

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。费马点（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。 特殊三角形中： (2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

三角形费马点的定义：

对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P，若PA+PB+PC有最小值,则取到最小值时P为费马点。

三角形费马点的确定：

1）当三角形的每个角都小于120°时，在△ABC内部，使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点P，即为费马点。（即3条距离连线正好平分费马点所在的周角）

作图：△ABC中，以AB，AC为边向外做等边三角形ABE，ACD，连接CE，BD，交于点P，点P即为费马点。（很显然，若作△BCF，连接AF，则AF也过点P）

2）当三角形有一个角大于或等于120°时，则此钝角顶点就为费马点

证明：

1）当三角形的每个角都小于120°时，△ABC中，以AB，AC为边向外做等边△ABE，ACD，连接CE，BD，交于点P，点P即为费马点

这是我以前回答的：http://zhidao.baidu.com/question/170143511.html

应该比较清楚了（就是有两个E，你知道是那个就行了= =），那么再作等边三角形BCG，并以这个链接上的图说说，AG为什么过点P，和此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°

连接AP，EP，易知∠DPC=∠BGC=60°

∴B、G、C、P四点共圆（一个外角等于其邻补角的内对角的四边形的四个顶点共圆）

∵BG=CG

∴∠GPB=∠GPC=60°（等弦对的圆周角相等）

∵△ACE≌△ADB

∴∠ADB=∠ACP

∴A、D、C、P四点共圆

∴∠APD=∠ACD=60°（同弧对的圆周角相等）

∴∠APG=∠APD+∠DPC+∠GPC=180°

∴A、P、G三点共线

即AG过点P

这样也很明显了，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°

【四点共圆可参考：http://baike.baidu.com/view/837557.html?wtp=tt】

2）当三角形有一个角大于或等于120°时，则此钝角顶点就为费马点

如新图【在我的回答最下方】（1），在△ABC内部有一点P，∠BAC≥120°

要证明：点A为费马点，即AB+AC＜PA+PB+PC

延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）

则△APC≌△AP'C'（SAS）

∵∠BAC≥120°

∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'

=180°-∠BAP-∠CAP

=180°-∠BAC≤60°

∴等腰三角形PAP'中，∠APP’=∠AP’P=(180°-∠BAC)/2≥60°

∴∠APP’=∠AP’P≥∠BAC

∴AP=AP’≥PP’（三角形中，大角对大边）

∴PA+PB+PC

≥PP'+PB+P’C'

>BC'=AB+AC’

=AB+AC

所以A是费马点

费马点介绍完了，回到你的题目。

如图（2）

证：很显然，这个三角形中没有一个角大于等于120°

所以费马点的情况属于1）

那么有∠APB=∠BPC=120°

∴△BAP中，∠PAB+∠ABP=180°-∠APB=60°

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°

∴∠PAB=∠PBC

在△APB与△BPC中

∠PAB=∠PBC

∠APB=∠BPC

∴△APB∽△BPC

∴AP/BP=BP/PC（相似三角形对应边成比例）

∴PB²=PA•PC=3×4=12

∴PB=2√3

【希望对你有帮助】

【图在上传中请稍等】

好详细！

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怀远县13174725236： 什么是费马点 - ？
汲研鹿丹： 若有一个内角大于等于120度,就是这个顶点. 若没有的话,就是到三边张角均为120度的角. 你可以用尺规在一个边AB外做一个正三角形.找出它的重心(AB边中线距顶点2/3处).以这点为圆心,过A,B两点做圆,同理作BC,CA边的圆,交点即为费马点. 简单的说就是:数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点

怀远县13174725236： 请问费马点是什么意思？
汲研鹿丹： 对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点. 如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.

怀远县13174725236： 什么是费马点?？
汲研鹿丹： 对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令<math>PA+PB+PC</math>三线段有最小值的一点,P为费马点.

怀远县13174725236： 费马点是什么?？
汲研鹿丹： 你是上高中的吧,费马点的性质是到三角形三个顶点的距离和最小的点

怀远县13174725236： 什么是费马点啊？
汲研鹿丹： 定义就是上边那位同志回答的在平面三角形中:(1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三...

怀远县13174725236： 费马点是怎么一回事 - ？
汲研鹿丹： 费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点. (1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点...

怀远县13174725236： 三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点 - ？
汲研鹿丹： 费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马...

怀远县13174725236： 到三个顶点的距离和最小的点是什么点? - ？
汲研鹿丹： 1.三点共线,则到三点距离之和最小的点就是中间的那个点2.三点不共线,则这三点可构成一个三角形,此时此点就是费马点.费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾...

怀远县13174725236： 如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点”的原因 - ？
汲研鹿丹： 数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点.它是这样确定的:如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.费马...

怀远县13174725236： 费马点是几年级学的 - ？
汲研鹿丹： 初三年级.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有...