a1=1,an+1=2an平方,求an的通项公式?

a1=1,an+1=2an²，求an的通项公式~

用数学归纳法解。
解：
a2=2a1²=2×1²=2=2^(2^0)
a3=2a2²=2×2^2=2^3=2^(2^0+2^1)
假设n=k (k∈N+且k≥1)时
ak=2^[2^0+2^1+...+2^(k-2)]=2^[(2^(k-1)-1)/(2-1)]=2^(2^(k-1)-1)
则当n=k+1时，
a(k+1)=2ak²=2×2^[2(2^(k-1)-1)]
=2^[2^(k)-2+1]
=2^[2^(k)-1]
同样成立。
综上，得an=2^(2^(ⁿ-1)-1)

^表示指数，2^(2^(ⁿ-1)-1)表示2的2(ⁿ-1)-1次方。

见图片：

a(n+1)=2an²
两边取对数得lna(n+1)=ln2+2lnan
所以lna(n+1)+ln2=2(lnan+ln2)
所以数列{lnan+ln2}是等比数列
首项是lna1+ln2=ln1+ln2=ln2
公比是q=2
所以lnan+ln2=ln2*2^(n-1)
即ln2an=ln[2^2^(n-1)]
所以2an=2^2^(n-1)
所以an=2^[2^(n-1)-1]

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

解：设a（n+1）+k=2（an+k）
所以a（n+1）=2an+k
因为a（n+1）=2an+4
所以k=4
所以a（n+1）+4=2（an+4）
即（a（n+1）+4）/（an+4）=2（常数）
因为a1=1，所以a1+4=5
所以｛an+4｝为首项为5，公比为2的等比数列
所以an+4=5*2^(n-1)
所以an=5*2^（n-1）-4
以上回答你满意么？

an = 2^(n-1)

---

任县13113471616： a1=1,an+1=2an平方,求an的通项公式? - ？
郑音优普： a(n+1)=2an² 两边取对数得lna(n+1)=ln2+2lnan 所以lna(n+1)+ln2=2(lnan+ln2) 所以数列{lnan+ln2}是等比数列 首项是lna1+ln2=ln1+ln2=ln2 公比是q=2 所以lnan+ln2=ln2*2^(n-1) 即ln2an=ln[2^2^(n-1)] 所以2an=2^2^(n-1) 所以an=2^[2^(n-1)-1] 如果不懂,请追问,祝学习愉快!

任县13113471616： 在数列an中,a1=1,an+1=2an+2^n,求an=? - ？
郑音优普： 两边同时除以2^(n+1)得 a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2 设bn=an/2^n b(n+1)=bn+1/2 bn是等差数列 所以bn=b1+(n-1)/2=a1/2+(n-1)/2=an/2^n an=n*2^n/2

任县13113471616： 数列{an},a1=1,an+1=2an,求通项公式 - ？
郑音优普： a(n+1) = 2an a(n+1)/an = 2 所以 {an} 是以2位公比的等比数列 因为 a1 = 1 所以 an = 2^(n - 1)

任县13113471616： 已知数列{an}满足a1=1 且an+1=2an+1求an - ？
郑音优普： 解: a(n+1)=2an +1 a(n+1)+1=2an +2=2(an +1) [a(n+1)+1]/(an +1)=2,为定值 a1+1=1+1=2,数列{an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列 an +1=2*2^(n-1)=2ⁿ an=2ⁿ-1 n=1时,a1=2-1=1,同样满足通项公式 数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1

任县13113471616： a1=1,an+1=2an+n,求an - ？
郑音优普： 这类题目都是构造等比数列解题.a(n+1)=2an+n 设{a(n+1)-[x(n+1)+y]}=2[an-(xn+y)] ……这么设是为了下面构造等比数列bn,从而求an.与原式对照比较可得-x=1,x-y=0,所以x=-1,y=-1, 所以a(n+1)-[-(n+1)-1]}=2[an-(-n-1) 设bn=an-(-n-1) 则bn+1=a(n+1)-[x(n+1)+y] ∴bn+1=2bn, 所以数列{bn}是等比数列,公比为2,首项b1= a1-(-1-1)=3, bn=3*2(n-1), 即an-(-n-1) =3*2(n-1), an=3*2(n-1) -n-1.

任县13113471616： 数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求an? - ？
郑音优普： a(n+1)+1=2an+2=2(an+1) [a(n+1)+1]/(an+1)=2 所以an+1是等比数列,q=2 所以an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n an=-1+2^n

任县13113471616： 数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an,求{an}的通项公式? - ？
郑音优普： 数列{an}中,已知a1=1,a(n+1)=2an 所以{an}是等比数列,首项是1,公比是2 所以an=a1*q^(n-1)=1*2^(n-1)=2^(n-1)

任县13113471616： 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.求an - ？
郑音优普： an+1=2an+1 an+1 +1= 2(an+1) 设bn=an+1,b1=2 bn+1=2*bn bn=b1*2^(n-1) an=2^n-1

任县13113471616： a1=1,an+1=an/﹙2an+1﹚,求通项公式 - ？
郑音优普： 两边取倒数 1/(an+1)=(2an+1)/an=1/(an+1)-1/an=2 所以1/an为等差数列 所以an=1/(2n-1)

任县13113471616： a1=1,an+1=2an²,求an的通项公式 - ？
郑音优普： ^^^用数学归纳法解.解:a2=2a1²=2*1²=2=2^(2^0) a3=2a2²=2*2^2=2^3=2^(2^0+2^1) 假设n=k (k∈N+且k≥1)时 ak=2^[2^0+2^1+...+2^(k-2)]=2^[(2^(k-1)-1)/(2-1)]=2^(2^(k-1)-1) 则当n=k+1时,a(k+1)=2ak²=2*2^[2(2^(k-1)-1)]=2^[2^(k)-2+1]=2^[2^(k)-1] 同样成立.综上,得an=2^(2^(ⁿ-1)-1) ^表示指数,2^(2^(ⁿ-1)-1)表示2的2(ⁿ-1)-1次方.