一元五次方程公式解法

~ 在处理一元五次方程时，一个巧妙的公式解法揭示了其隐藏的结构。当方程形式为 \(x^5 + px^3 + rx + s = 0\)，且存在 \(p^2 = 5r\) 的关系时，我们可以利用变换 \(x = A + B^{0.2} - (A - B)^{0.2}\) 来求解。这个变换的关键在于 \(A\) 和 \(B\) 的确定，其中 \(p\) 和 \(r\) 满足 \(p = -5(A^2 - B^2)^{0.2}\) 和 \(10p^2/25 - 3p^2/5 + r = 0\)，后者是通过已知条件推导得出的二次方程。

通过解这个二次方程，我们得到 \(A\) 和 \(B\) 的值。一旦 \(A\) 和 \(B\) 确定，我们就能找到两个实数根 \(x_1\) 和两个复数根 \(x_2/x_3\)。让我们通过一个示例来直观地理解这个过程。

例1中的方程 \(x^5 - x^3 + x/5 + 13 = 0\)，通过公式变换，我们先求得 \(A\) 和 \(B\)，然后计算 \(x_1\)：

\[ x_1 = \left((-13/2 + (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} + (-13/2 - (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5}\right) \]

\[ x_1 = -1.790017636256243 \]

复数根 \(x_2\) 和 \(x_3\) 可以用指数形式表示：

\[ x_2 = \left((-13/2 + (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} e^{(\frac{πi}{5})} + (-13/2 - (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} e^{(-\frac{πi}{5})}\right) \]

\[ x_3 = \left((-13/2 + (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} e^{(\frac{4πi}{5})} + (-13/2 - (13^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} e^{(-\frac{4πi}{5})}\right) \]

同样地，对于例2的方程 \(x^5 - x^3 + x/5 - 1 = 0\)，我们同样应用公式：

\[ x_1 = \left((-1/2 + (1^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5} + (-1/2 - (1^2/4 - 1^5/3125)^\frac{1}{2})^\frac{1}{5}\right) \]

\[ x_1 = -1.199948777866432 \]

\(x_2\) 和 \(x_3\) 的复数部分也会遵循类似模式，只是具体数值有所不同。这种公式提供了一个强大的工具，让我们能够有效地解析那些看似棘手的一元五次方程。通过理解和应用，我们可以找到方程的精确解，无论是实数还是复数形式。

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五莲县17785369007： 一元五次方程解法? - ？
沈戴甘思：[答案] 一般来说,只有一些可以通过分解因式降次的五次方程才可以解,对于一般的五次方程而言是没有公式解的,即不能用任何一种初等函数表示其解.对于确定系数的五次方程可以通过数值方法求出其近似解. 五次方程或更高次的代数方程没有解析解,...

五莲县17785369007： 谁知道一元五次方程怎么解? - ？
沈戴甘思：[答案] 论证阿贝尔定理的错误 一元五次或更高次的一元方程没有一般的代数求根公式存在,被数学史上称之为阿贝尔定理,可惜原来是一个错误定理.下面让我来论证他的错误性. 为了让诸位更清楚我的论证过程 首先我把我...

五莲县17785369007： 一元五次方程解法? - ？
沈戴甘思： 一般五次方程是没有求根公式的 阿贝尔证明的

五莲县17785369007： 五次方程求根公式 ？
沈戴甘思： 五次方程求根公式是ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,五次方程是未知项总次数最高为5的整式方程.一般的五次方程没有统一的公式解存在.求一元五次方程的根式解曾困扰数学家三百余年,阿贝尔和伽罗瓦的工作证明了一般一元五次方程没有根式解.1930 年华罗庚《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文,是对试图推翻阿贝尔和伽罗瓦证明的一种反驳,也是华罗庚的成名之作. 最近国内学者声称“破解”了一元五次方程.这种“破解”,仅限于一元五次方程根的数值求解.

五莲县17785369007： 如何解一元多次方程三次、四次、五次...等 - ？
沈戴甘思：[答案] 一元三次方程可以降次,也可以因式分解,还可以用公式;一元四次方程一般只用前两种方法;对于一般的一元五次方程基本上是解不出来的,有些可以用计算机解,但确实很麻烦

五莲县17785369007： 求解一元五次方程,各种方法均可,只要算得出 - ？
沈戴甘思： 论证阿贝尔定理的错误一元五次或更高次的一元方程没有一般的代数求根公式存在,被数学史上称之为阿贝尔定理,可惜原来是一个错误定理.下面让我来论证他的错误性.为了让诸位更清楚我的论证过程 首先我把我的大致论证思路作一个简...

五莲县17785369007： 一元5次方程,解法? - ？
沈戴甘思： 代数方程的无理数解都是代数数、都是可以用根式表示的、、 当然我们能不能把它们表示出来是另一回事 = =、、5次及5次以上的代数方程没有一般的解法、是说5次及5次以上的代数方程的解我们不一定能够把它们的解用根式表示出来、、就是不一定可以求得准确解、 你所给的方程只有一个实根、、大概是0.68198108254497… 应该是可以用根式准确地表示这个实根的、、只是俺没有本事表示 = =、

五莲县17785369007： 一元5次方程的求根公式 - ？
沈戴甘思： 可化为(X+b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式 关于研究五次方程求根公式的问题,如果我们不受Abel定理的约束,那么在探索中我们会有新的发现. 从盛金公式解题法中可以受到启发,若一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0可以用根式...

五莲县17785369007： 我已找到一元五次方程的求根公式了 - ？
沈戴甘思： 根据 Galois理论,每种方程对应一个伽罗瓦群,这个方程可解,当且仅当这个群可解,而当n大于等于5时,这个群一般是不可解的,这个问题多年前就被证明了.一元五次方程是没有求根公式的,因为它对应的伽罗瓦群不可解.这是某一年的菲尔斯奖.不可能随便说说就解决的.用伽罗瓦理论还可以解决几何三大难题,化圆为方,二体积问题,还有三等分角问题

五莲县17785369007： 解一元五次方程的一般步骤是什么？
沈戴甘思： 解一元二次方程的一般步骤: 1.分解因式 (1)提 即提公因式 (2)套 即套用公式法分解因式 (3)分组 合并同类项 2.根据各一次项分别等于0解出2个根