一道关于不等式的数学题： 我们知道:2/3<2+1/3+1,2/3<2+2/3+2,2/3<2+3/2+3……,
能得到的一般不等式为：1+1/2+1/3+.....+1/(2^n - 1) > n/2 （n为自然数）①
令n=1得：1>1/2
,假设n=k时，1+1/2+1/3+.....+1/(2^k - 1) > k/2 成立。
则需证n=k+1时，1+1/2+1/3+.....+1/(2^(k+1)- 1) >(k+1)/2
需证：1/2^k+.....+1/(2^(k+1)- 1) >1/2
而：1/2^k+.....+1/(2^(k+1)- 1) > 1/(2^(k+1)- 1)+.....+1/(2^(k+1)- 1) = 2^k/(2^(k+1)- 1)
只需证： 2^k/(2^(k+1)- 1) >1/2而 0< 2^(k+1) -1< 2^(k+1) ，
所以：2^k/(2^(k+1)- 1) >2^k/(2^(k+1))=1/2
从而：n=k+1时，1+1/2+1/3+.....+1/(2^(k+1)- 1) >(k+1)/2得到证明。
所以：1+1/2+1/3+.....+1/(2^n - 1) > n/2 （n为自然数）
本题其实难在两个不等式的放缩，和一些简单的极限基本知识。
（1）首先你必须知道以下事实：
1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
2.f(x)=lnx，是以e为底的对数，叫自然对数。
（2）然后让我们用初等数学来证明两个解本题的基本结论
1.数列ax=(1+1/x)^x是单调递增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
证明：即证[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1) x是正整数
1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)个(x+1)次根号下[(1/x)^x*1/(x+1)]
[然后将x+1放到根号中去]
=(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
1+1/(x+1)>(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x 而e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
所以(1+1/x)^x<e
2.数列ax=[1+1/(x-1)]^x是单调递减的，且其最小值即e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
证明：即证(1+1/x)^(x+1)<[1+1/(x-1)]^x
(1+1/x)^(x+1)=(1+2/x+1/x^2)*(1+1/x)*(1+1/x)*(1+1/x)...[x-1个(1+1/x)]<{[(1+1/x)(x-1)+1+2/x+1/x^2]/x}^x [均值不等式]
=(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x
而1+1/(x-1)=x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+1/x^3+1/x^4...1/x^n(n=∞)
所以1+1/(x-1)>1+1/x+1/x^2+1/x^3
所以(1+1/x)^(x+1)<(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x<[1+1/(x-1)]^x
而e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
所以e<[1+1/(x-1)]^x
其实，1.还可以用二项式定理证明，不过我不大记得了，你可以试试看。
(3)最后用数学归纳法证明此不等式1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
1.当n=2时，1/2<ln2<1+1/2
2.假定当n=k-1时，假定1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
3.一方面,lnk-ln(k-1)=ln(k/k-1)=ln(1+1/k-1),e<[1+1/(k-1)]^k
两边取对手数，ln(1+1/k-1)>1/k,而1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）
所以1/2+1/3+……+1/k<ln（k-1）+ln(1+1/k-1)=lnk
另一方面(1+1/x)^x<e，也即(1+1/k-1)^k-1<e
两边取对手数，ln(1+1/k-1)<1/(k-1),而ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
所以ln(k-1)+ln(1+1/k-1)=lnk<1+1/2+……+1/（k-1）
所以当n=k时，不等式成立。
综上，1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
实际上1+1/2+1/3...+1/n当n趋向于无穷大时，等于lnn，是发散的。
原来的浓度为n/m
再加入k克糖后浓度为n+k/m+k
由上面规律b/a<b+c/a+c可知n/m<n+k/m+k，加入k克糖后浓度增大，所以感到糖水更甜了。
1.a/b<(a+c)/(b+c)
未加糖之前，糖水浓度为n/m
加了糖之后，糖水浓度为（n+k）/（m+k)
由1的结论知道n/m<(n+k)/(m+k)，糖水变得更甜
b>a>0,c<0
shuitie na
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