已知L是圆周x^2+y^2=1，n为L的外法线向量，u(x,y)=(1/12)(x^4+y^4)，

已知L是圆周x^2+y^2=1，n为L的外法线向量，u(x,y)=(1/12)(x^4+y^4)，求偏导数au/an~

令F（x,y,z)=x^2+y^2+x^2-1
则球面的法向量为（Fx,Fy,Fz)=（2x,2y,2z) Fx 表示F对x的偏导
则在点M(0,0,1)处球面的法向量（0，0，2）
则与这个法向量方向相同的单位向量为（0，0，1）
这个方向导数为 偏u/偏l=1*0+1*0+1*1=1

有个简单方法，因为圆周是个x,y地位相同的形状，
所以∫y^2ds=∫x^2ds
所以原积分=(1/2)∫(x^2+y^2)ds=(1/2)∫ds=(1/2)*2π=π

首先你要知道什么是外法线向量，在圆上外法线向量就是改点沿着半径向外的向量。
逆时针切向量就是与圆相切且方向为逆时针方向，而x轴逆时针旋转90度也是y轴、所以角(n,x)=角(t,y),当然这个是有方向的角度.第一个角表示的是从n开始到x（你可以自己画画）
角(n,y)=180-(t,x),当然有cos(n,y)=-cos(t,x)。补充：n为外法线向量，t为逆时针方向的切向量。
希望对你有帮助 ，你考研考过了吧？

说说怎么想的：

1、按照方向导数的定义写出表达式，转化为向量乘积形式，那个s是单位法向量，注意到单位法向量和方向余弦的关系写出第二行。

2、格林公式要的是切向量，而得到的是法向量，而且题目要求是单位圆上逆时针的切向量，凭空想象很困难，但是那个切向量不就是法向量旋转90度？

那怎么转90度呢？

1、利用旋转矩阵（我也忘了，但我知道有这么回事）

2、利用复数，因为一个复数乘以虚数单位i，相当于逆时针旋转90度，要的就是这个，而且复数也是向量。

把i写成模和相角的形式，然后欧拉公式展开，计算得到切向量。

和题目对比之后转成第二类曲线积分，然后格林公式，搞定。

令F（x,y,z)=x^2+y^2+x^2-1
则球面的法向量为（Fx,Fy,Fz)=（2x,2y,2z) Fx 表示F对x的偏导
则在点M(0,0,1)处球面的法向量（0,0,2）
则与这个法向量方向相同的单位向量为（0,0,1）
这个方向导数为 偏u/偏l=1*0+1*0+1*1=1

重点在处理角度上的法向量和切向量的转化 法向量规定向外你可以做个图把法向量投影到xy正方向再把切向量投影到相应方向 注意其实你可以选择逆时针的切向量和顺时针的切向量 如答案他选择逆时针的切向量 投影到xy轴 发现切向量投影到x轴时是负半轴 故前加负号 如果选择顺时针 则dy那一项前加负号 下一步用格林时顺时针方向亦为负 故选择顺时针逆时针切向量结果相同。

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武陟县13536613257： 已知L是圆周x^2+y^2=1,n为L的外法线向量,u(x,y)=(1/12)(x^4+y^4),求偏导数au/an答案说:au/an=au/ax - au/ay,请问是怎么算的?. - ？
饶亭林比：[答案] 令F(x,y,z)=x^2+y^2+x^2-1 则球面的法向量为(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,2z) Fx 表示F对x的偏导 则在点M(0,0,1)处球面的法向量(0,0,2) 则与这个法向量方向相同的单位向量为(0,0,1) 这个方向导数为 偏u/偏l=1*0+1*0+1*1=1

武陟县13536613257： 若曲线L是圆周x^2+y^2=1,则曲线积分∫Lds= - ？
饶亭林比：[答案] 设x=rcost,y=rsint 代入圆周x^2+y^2=1得 r=1 ∴x=cost,y=sint 则dx/dt=-sint,dy/dt=cost ∴ds=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]=dt ∴曲线积分∫Lds=∫(0,2π)dt=2π,(∫(0,2π)表示从0到2π的积分).

武陟县13536613257： 求曲线积分设L是圆周x^2+y^2=1,则∫(x - y^2)ds=? - ？
饶亭林比：[答案] 可用对称性. ∫L (x - y^2) ds = ∫L x ds - ∫L y^2 ds = 0 - (1/2)∫L (x^2 + y^2) ds = (- 1/2)∫L (1) ds = (- 1/2) * 2π = - π

武陟县13536613257： L是圆周x^2+y^2=1,求对弧长的曲线积分∮L(x^2+y^2)ds. - ？
饶亭林比： 设x=cosu,y=sinu,则ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=du, 所以∮L(x^2+y^2)ds=∫<0,2π>du=2π.

武陟县13536613257： L为圆周x^2+y^2=1,则∮Le^x^2+y^2ds= - ？
饶亭林比： 设x=cost,y=sint 被积函数化成e^(cost)^2+(sint)^2 dt, t从0到2pi e^(cost)^2可以用泰勒展式展开,不过化起来似乎比较麻烦.

武陟县13536613257： L为圆周x^2+y^2=1,则∫L x^2ds=?答案是π,我算的π/2,哪里算错了??如图 - ？
饶亭林比： 圆的周长是2π,不是π啊

武陟县13536613257： 设L是X^2+Y^2=1的下半圆周,则曲线积分ds的值为多少,求详解 - ？
饶亭林比： 下半圆周,则y ≤ 0 先化为参数方程: 令x = cost,y = sint,π ≤ t ≤ 2π 则dx = - sint dt,dy = cost dt 则ds = √((dx)² + (dy)²) dt ds = √(sin²t + cos²t) dt ds = dt

武陟县13536613257： 曲线积分(x^3+xy^2)ds,其中L为圆周x^2+y^2=1 - ？
饶亭林比： 被积函数关于x是奇函数,积分曲线关于y轴对称,因此本题结果为0,无需计算.

武陟县13536613257： 求∮√x^2+y^2ds(其中L为圆周x^2+y^2=ax)的积分值 - ？
饶亭林比： 求∮√(x²+y²)ds(其中L为圆周x²+y²=ax)的积分值 解:L:x²-ax+y²=(x-a/2)²+y²-a²/4=0,故得(x-a/2)²+y²=a²/4,这是一个圆心在(a/2,0),半径r=a/2的圆;故写成参数形式就是:x=(a/2)(1+cos2t),y=(a/2)sin2t,t∈[-π/2,π/2]. ds=√[(dx/...

武陟县13536613257： 已知直线L与圆x^2+y^2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和为根号3,则L与两坐标轴围成的S为? - ？
饶亭林比： 设直线分交x于A(a,0),y轴B(0,y)令AB=c 则c=√(a^2+b^2) 很明显1/2*|ab|=1/2*1*c 于是(ab)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3-2ab(ab)^2+2ab-3=0 ab=1或ab=-3 于是S=|ab|/2=1/2或3/2 当ab=1时,又a+b=√3 则a、b是方程x^2-√3x+1=0的两根 很明...