∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向

L为取正向的圆周，x^2+y^2=R^2，求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）~

因为取格林公式后，由线积分变成面积分，二重积分(x^2+y^2)dxdy，(x^2+y^2)不能用圆周方程
x^2+y^2=R^2替换，因为不在线上一重积分了，改为在圆面上二重积分了，应该用极坐标计算，r^2.rdr积分再乘以2pi.

∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr

=2π(1/4)r^4︱(0,a)=(1/2)πa^4
注意：∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分，在D上x^2+y^2≤a^2

【L】∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²) 其中L是圆周x²+y²=a²的顺时针方向
解：P=-x²y/(x²+y²)；∂P/∂y=[-x²(x²+y²)+2x²y²]/(x²+y²)²=x²(y²-x²)/(x²+y²)²；
Q=xy²/(x²+y²)；∂Q/∂x=[y²(x²+y²)-2x²y²]/(x²+y²)²=y²(y²-x²)/(x²+y²)²；
故∂Q/∂x≠∂P/∂y.
把积分路径L的方程改成参数形式：x=acost，y=asint，dx=-asintdt，dy=acostdt；
故∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²)=【0，2π】(1/a²)∫[(asint)(asint)²(acost)-(acost)²(asint)(-asint)]dt
=【0，2π】(a²)∫(sin³tcost+sin²tcos²t)dt=【0，2π】(a²)[∫sin³tcostdt+∫sin²t(1-sin²t)dt]
=【0，2π】(a²)[∫sin³td(sint)+∫sin²tdt-∫sin⁴tdt]
=【0，2π】(a²)[(1/4)sin⁴t+∫sin²tdt-(1/4)sin³tcost+(3/4)∫sin²tdt]
=【0，2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/4)∫sin²tdt]
=【0，2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)∫(1-cos2t)d(2t)]
=【0，2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)(2t-sin2t)]
=(7/16)(4π)=(7/4)π

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离石区18476682296： L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy - x^2ydx的值(答案是πR^4/2)下面是某网友的解答:xy^2=Q(x) - x^2ydx=P(x)利用格林公式∮xy^2dy - x^2ydx... - ？
计李骨刺：[答案] 因为取格林公式后,由线积分变成面积分,二重积分(x^2+y^2)dxdy,(x^2+y^2)不能用圆周方程 x^2+y^2=R^2替换,因为不在线上一重积分了,改为在圆面上二重积分了,应该用极坐标计算,r^2.rdr积分再乘以2pi.

离石区18476682296： L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy - x^2ydx的值(答案是πR^4/2) - ？
计李骨刺： xy^2=Q(x) -x^2ydx=P(x) 利用格林公式 ∮xy^2dy-x^2ydx=二重积分(dQ/dx-dp/dy)dxdy=二重积分(x^2+y^2)dxdy=R^2二重积dxdy=R^2*πR^2/2 =πR^4/2 因为取得正向圆周,所以二重积dxdy=圆面积的一半. 不知道看的懂否,符号有够肯跌 哈哈

离石区18476682296： ∮L xy^2dy - x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向 - ？
计李骨刺：[答案] 【L】∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²) 其中L是圆周x²+y²=a²的顺时针方向 P=-x²y/(x²+y²);∂P/∂y=[-x²(x²+y²)+2x²y²]/(x²+y²)²=x²(y²-x²)/(x²+y²)²; Q=xy²/(x²+y²);∂Q/∂x=[y²(x²+y²)-2x²y²]/(x²+y²)²=y²(y²-x²)/(x²+y²)²...

离石区18476682296： ∮xy^2dy - x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2,方向为逆时针 - ？
计李骨刺： ∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=2π(1/4)r^4︱(0,a)=(1/2)πa^4 注意:∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^2

离石区18476682296： 问一道格林公式的题计算 ∫xy^2dy - x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2.我计算到∫xy^2dy - x^2ydx=∫∫a^2dxdy=a^2∫∫dxdy,然后∫∫dxdy=πa^2,所以最后算出来结... - ？
计李骨刺：[答案] ∮xy^2dy-x^2ydx = ∫∫(x^2+y^2)dxdy ≠ ∫∫ a^2dxdy ! 用高斯公式已将曲线积分化为了二重积分, 是在整个区间D上,不是在圆周上.

离石区18476682296： 应用格林公式求∫xy^2dy - x^2ydx,其中L是上半圆周x^2+y^2=a从(a,0) 到( - a,0) 的一段. - ？
计李骨刺：[答案] 补线段L1:y=0,x:-a→a 则L+L1为封闭曲线,可以用格林公式 ∮(L+L1) xy²dy-x²ydx =∫∫ (y²+x²) dxdy =∫[0→2π]dθ ∫[0→a] r³ dr =2π(1/4)r^4 |[0→a] =(1/2)πa^4 下面计算所补线段上的积分 ∫(L1) xy²dy-x²ydx=0 因此:原积分=(1/2)πa^4-0=(1/2)πa...

离石区18476682296： 设L为正向曲线x^2+y^2=4,则曲线积分∫L xy^2dy - x^2ydx=? - ？
计李骨刺： 取L:x² + y² + 4x - 2y ≤ 0 ===> (x + 2)² + (y - 1)² ≤ 5 ∮L (x² - y)dx + (- y² + 2x)dy = ∫∫D [ ∂/∂x (- y² + 2x) - ∂/∂y (x² - y) ] dxdy = ∫∫D [ (0 + 2) - (0 - 1) ] dxdy = 3∫∫D dxdy = 3(5π) = 15π

离石区18476682296： 求曲线积分fxy^2dy - x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正方向 为什么我算出来是pai*a的4次.和答案不一样 - ？
计李骨刺： P=-x^2y Q=xy^2 ∂P/∂y=-x^2 ∂Q/∂x=y^2 根据格林公式:∫(L)fxy^2dy-x^2ydx=∫∫(D)[y^2-(-x^2)]dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=πa^4/2

离石区18476682296： 利用格林公式计算∮ Lxy2dy - x2ydx,其中L是圆周x2+y2=a2(按逆时针方向). - ？
计李骨刺：[答案] 由于L所围区域D:x2+y2≤a2,由格林公式,可得 ∫Lxy2dy−x2ydx= ∫∫ D(y2+x2)dxdy= ∫2π0dθ ∫a0r2•rdr= π 2a4.

离石区18476682296： 求教,设L是D:1≤x≤2,2≤y≤3则正向边界,则∮L xdy - 2ydx等于什么? - ？
计李骨刺： 直接用格林公式 ∮L xdy-2ydx =∫∫D 3 dxdy =3∫∫D 1 dxdy =3 S(D) =3*1*1 =3 回答完毕求采纳