微分方程，用通解公式，要详细解答过程！

微分方程，用通解公式，要详细解答过程！~

解：设y'-y/x=0，有dy/y=dx/x，两边积分有y=x。再设方程的通解为y=xu(x)，则y'=u(x)+u'(x)x，代入原方程，经整理有，u'(x)=(-2lnx)/x^2。两边再积分有，u(x)=(2/x)(lnx+1)+C。∴原方程的通解为，y=2(lnx+1)+cx，其中c为常数。供参考。

首先,把原式化简一下,等式两边先同时除以dx,再同时除以x,就可以得到：
y/x+(1+y/x)(dy/dx)=0的等式
（0）,
设u=y/x（1），推出dy/dx=（xdu/dx）+u
（2）,
将（1）（2）同时带入（0）式：u+(1+u)(xdu/dx+u)=0
化简以后可以得到：x(1+u)du/dx
=-u^2-2u
继续化简就是：
-(1+u)/u(u+2）du=dx
/x
两边同时积分.
右边积分是ln
x,
左边的-(1+u)/u(u+2)=-1/2*[(1/u)+1/(u+2)]
-1/2*[(1/u)+1/(u+2)]du=-1/2*[du/u+du/(u+2)]
左边积分后就是：-1/2*[ln
u
+ln(u+2)]
通解还要再加上一个常数C,
所以就是：-1/2*[ln
u
+ln(u+2)]=ln
x+C
将u=y/x带入得到-1/2*[ln(y/x)+ln(y/x+2)]=lnx+c

解：

设y'-y/x=0，有dy/y=dx/x，两边积分有y=x。

再设方程的通解为y=xu(x)，则y'=u(x)+u'(x)x，

代入原方程，经整理有，u'(x)=(-2lnx)/x^2。

两边再积分有，u(x)=(2/x)(lnx+1)+C。

∴原方程的通解为，y=2(lnx+1)+cx，其中c为常数

扩展资料：

微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。

偏微分方程

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 [2]  。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

一般的n阶常微分方程具有形式：其中  是  的已知函数，并且必含有  。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 [2]  ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。

有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

最常见的二阶椭圆方程为调和方程：

 。

线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。

若  是  的一次有理式，则称方程  为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。

一般的，n阶线性方程具有形式：

其中，  均为x的已知函数。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

参考资料：百度百科——微分方程

解：∵微分方程为y'-y/x=-2/x×lnx，化为y'/x-y/x²=

-2/x²×lnx ∴有(y/x)'=-2/x²×lnx，y/x=2/x×lnx+2/x+c

(c为任意常数)，微分方程的通解为为y=2lnx+2+cx

请参考

下图为解隐式微分方程的过程

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：

牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；

天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。

解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。

如果一个微分方程中出现多元未知函数的偏导数，那么这就是偏微分方程。偏微分方程作为一门学科产生于18世纪对振动弦问题的研究。在科学技术飞速发展过程中，更多的问题无法用只含一个自变量的函数来描述，多个变量的函数来描述才更合适。

解:微分方程为y'-y/x=-2/x×lnx，化为

y'/x-y/x²=-2/x²×lnx，(y/x)'=-2/x²×lnx，

y/x=2/x×lnx＋2/x＋c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=2lnx＋2＋cx

再举个解微分方程的例子

请参考

解：设y'-y/x=0，有dy/y=dx/x，两边积分有y=x。再设方程的通解为y=xu(x)，则y'=u(x)+u'(x)x，代入原方程，经整理有，u'(x)=(-2lnx)/x^2。两边再积分有，u(x)=(2/x)(lnx+1)+C。∴原方程的通解为，y=2(lnx+1)+cx，其中c为常数。供参考。

求采纳，谢谢

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