设O为三角形ABC的内心,当AB=4、BC=5、AC=6,向量AO=x向量AB+y向量CB ,求x/y=
由题意,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立坐标系,则A(0,4),B(-3,0),C(3,0),则 AB (-3,-4), BC =(6,0)因为点O在∠ABC的平分线上,所以 BO 与 BA 及 BC 的单位向量的和向量共线.设这个和向量为 u ,则 u =( 3 5 , 4 5 )+(1,0)=( 8 5 , 4 5 ), u 的单位向量 u 0 =( 2 5 , 1 5 ),它与 BO 的单位向量相等,又 BO =(3,k),由此得方程 2 5 = 3 9+ k 2 ,解方程得k= 3 2 (另一负根不合题意,舍去).所以 AO =(0, 3 2 -4)=(0,- 5 2 ).又 AO =m AB +n BC ,故(0,- 5 2 )=m(-3,-4)+n(6,0),即 -3m+6n=0 -4m=- 5 2 ,解得m= 5 8 ,n= 5 16 .故答案为: 15 16
这是一个等腰三角形,顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高三线合一,所以 BD=DC 。
因为 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2+AB^2-2AB*AC=25+25-2AB*AC=36 ,
所以解得 AB*AC=7 。
由已知,AI = xAB+yBC=xAB+y(AC-AB)=(x-y)*AB+y*AC ,
因为 AB=AC ,所以 x-y=y ,则 x=2y ,
由勾股定理得 AD=4 ,所以 S=1/2*BC*AD=12 ,
所以 ID=r=2S/(AB+BC+CA)=24/16=3/2 ,
因此 AI=4-3/2=5/2 ,
所以,由 AI^2=y^2*(AB+AC)^2=y^2*(AB^2+AC^2+2AB*AC) 得
25/4=y^2*(25+25+14) ,
解得 y=5/16 ,进而得 x=5/8 。
或者这样更简单:
由勾股定理得 AD=4 ,面积=12 ,内切圆半径 r=3/2 后,
AI=5/2 ,因此向量 AI = 5/8*AD ,
而 AI=xAB+yBC=xAB+2yBD ,AD=AB+BD ,
因此 xAB+2yBD=5/8*(AB+BD) ,
比较系数可得 x=5/8 ,2y=5/8 ,y=5/16 。
证明:如图:连OB、OC、OA,延长AO交BC于点D
因为,点O为内心
所以,∠1=∠2
所以,由角平分线定理:AO/OD=AB/BD
同理:AO/OD=AC/DC
所以,AO/OD=AB/BD=AC/DC=(AB+AC)/(BD+DC)=(AB+AC)/BC=(4+6)/5=2 (等比定理)
所以,AO/AD=2/3
所以,向量AO=(2/3)向量AD
又因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线
所以,BD/DC=AB/AC=4/6=2/3
所以,BD/BC=2/5
所以,向量BD=(2/5)向量BC
如图:向量AD=向量AB+向量BD=向量AB+(2/5)向量BC
所以,向量AO=(2/3)向量AD=(2/3)[向量AB+(2/5)向量BC]=(2/3)向量AB+(4/15)向量BC
由题知:向量AO=x向量AB+y向量CB
所以,x向量AB+y向量CB=(2/3)向量AB+(4/15)向量BC
所以,(x-2/3)向量AB+(y+4/15)向量CB=0
因为,向量AB和向量CB 不共线
所以,x-2/3=0, y+4/15=0
所以,x=2/3, y=-4/15
所以,x/y=(2/3)/(-4/15)=-5/2
x=7
y=15
已知O点为三角形ABC的外心,AB=4,AC=5,BC=6,则向量AO×向量BC=?急等急...
设BC中点为P,则OP⊥BC,向量AO=AP+PO AO*BC=(AP+PO)*BC =AP*BC+PO*BC =AP*BC =1\/2*(AB+AC)(AC-AB)=1\/2*(|AC|^2-|AB|^2)=1\/2 *(16-4)=6
已知O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=6,BC=7,则向量AO*BO等多少?
由余弦定理得cosC=23\/28,AO与BO是三角形外接圆的半径,设为R,根据正弦定理得:R=c\/(2sinC).∠AOB是圆心角,是相应圆周角∠C的两倍。向量AO*BO=R* R*cos∠AOB =R^2cos2C = R^2(1-2sin^2C)= c^2\/(4sin^2C)•(1-2sin^2C)=16\/(4sin^2C)•(1-2sin^2C)将...
设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角...
【【注】】【1】以下大写字母均表示向量,前面不再写“向量”二字。如“向量AB”就写为AB.【2】三角形高线的性质:任意一个三角形,其三条高线交于一点。该点就称为三角形的垂心。【3】三角形的外心:易知,若点O是⊿ABC的外心,则|OA|=|OB|=|OC|.【【证明】】【1】由“向量加法的三角...
O为三角形ABC一点.且满足向量OA+向量OB+向量OC=.则点O为该三角形的什么...
O为三角形ABC所在平面内一点,OA+OB+OC=0<=>点O是三角形ABC的重心 (OA ,OB, OC, 0为向量)取BC中点D,连结并延长OD至E,使DE=OD,则四边形BOCE是平行四边形 ∴向量OB=向量CE ∴向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE 由向量OA+向量OB+向量OC=0得:向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO ∴向量AO...
设o为三角形ABC的外心
向量OA+向量OB+向量OC=向量OP 则向量OA+向量OB =向量OP-向量OC ∴ 向量OA+向量OB=向量CP ∴ 向量CP.向量AB =(向量OP-向量OC)*(向量OB-向量OA)=(向量OB+向量OA).(向量OB-向量OA)=OB²-OA²=0 ∴ CP⊥AB 同理 AP⊥BC,BP⊥AC ∴ P是三角形的垂心 参考资料:http:...
点O为三角形ABC的中线AD上任意一点,BO、CO的延长线分别交AC、AB于点...
那么三角形AOB和三角形AOC面积也相等。再由已知条件三角形AOE和三角形AOF面积相等,可以知道三角形FOB和三角形EOC面积相等;这样三角形EFB和三角形FEC面积也相等。那么这两个三角形的共同底边EF上的高也相等,也就是说B点和C点到EF的距离相等。由B,C向EF做垂线交EF延长线于B'C'两点,BB'和CC'...
如图,点O是三角形ABC三条角平分线的交点,过点O作OG垂直BC,垂足为点G...
∵∠DOB是△AOB外的一角∴∠DOB=∠OAB+∠OBA∵∠OAB与∠OBA分别为∠A和∠B的一半.∴∠DOB=1\/2∠A+1\/2∠B.∵O是△ABC的三条角平分线的交点∴1\/2∠A+1\/2∠B+1\/2∠C=180÷2=90.∴∠DOB=90-1\/2∠C∵∠CGO=90.∴∠GCO+∠GOC=90.∴∠GOC=90-∠GCO=90-1\/2∠C.∴∠DOB=∠...
已知三角形ABC的外心为点O,且向量AO与向量AB的数量积=8,求向量AB的模...
O为三角形ABC的外心,|AO|=|OB| AO^2=OB^2 AO*AB=8 AO*(AO+OB)=8 AO^2+AO*OB=8 |AB|^2 =(AO+OB)^2 =AO^2+2AO*OB+OB^2 =2(AO^2+AO*OB)=2*8 =16 |AB|=4
当o为三角形ABC的垂心时,tanA●向量OA+tanB●向量OB+tanC●向量OC=向量...
这是对的,三角形内任意一点O,若 S△BOC:S△AOC:S△AOB=x:y:z 则x·OA+y·OB+z·OC=0
设O为三角形ABC内一点,且满足向量OA+两倍的向量OB+三倍的向量OC=0,求...
|OC|sinΦ1\/2)]|+|[(|OB|sinΦ2\/2):(|OA|sinΦ1\/2)]|+1...②将①中求得的|OB|:|OC|和|OB|:|OA|代入②中,可求得 S△ABC:S△AOC=|-3\/2|+1\/2+1=3(面积比不能是负数,要求绝对值)
毕奚脂脉: 由题意,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立坐标系,则A(0,4),B(-3,0),C(3,0),则AB (-3,-4),BC =(6,0) 因为点O在∠ABC的平分线上,所以BO 与BA 及BC 的单位向量的和向量共线. 设这个和向量为u ,则u =(35 ,45 )+(1,...
安吉县18988527972: 设点0为三角形ABC的内心,当AB=AC=5,BC=8,向量AO等于&向量AB+#向量BC,(&,#属于R),则#+&的值为多少? - ?
毕奚脂脉: 连结AO与BC的交点是D,BD=DC=4,.BO平分∠ABC,则BA:BD=AG:GD, AG:GD=5:4.即:AO=(5/9)AD,又向量AB+(1/2)BC=向量AD ,则 AB+(1/2)BC=(9/5)AO 则:AO=(5/9)AB+(5/18)BC,所以#=5/9,&=5/18 所以#+&=15/18=5/6.
安吉县18988527972: 设O为△ABC的内心,当AB=AC=5,BC=8时,向量AO=λ向量AB+μ向量BC(λ、μ∈R),则λ+μ的值为? - ?
毕奚脂脉: 三角形为等腰三角形,O点在中线AD上(D为BC中点)由勾股定理求出OD=4/3,所以AO=5/3 由于OB=OC,所以λ=μ,因为 向量AB+向量BC=2向量OD 所以 向量AO=2λ向量OD 从而 5/3=2λ*4/3 λ=5/8 λ+μ=5/4
安吉县18988527972: 在三角形ABC中,AB=BC=6,AC=9.设O是三角形ABC的内心,若AO向量=pAB向量+qAC向量,则p/q的值为多少? - ?
毕奚脂脉: O是三角形ABC的内心,则:aOA+bOB+cOC=0 而:OB=OA+AB,OC=OA+AC,故:aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=(a+b+c)OA+bAB+cAC=0,即:AO=bAB/(a+b+c)+cAC/(a+b+c) 故:p=b/(a+b+c),q=c/(a+b+c),故:p/q=b/c=|AC|/|AB|=9/6=3/2
安吉县18988527972: 在三角形ABC中,AB=BC=3,AC=4设O是三角形ABC的内心若向量AO=m向量AB+n向量AC - ?
毕奚脂脉: O是内心,那么由题意容易计算出这个三角形内切圆的半径为1,即O到三边的距离都是1.分别过O作AB、AC的垂线,垂足为M、N,则|AM|=|AN|=1 (向量箭头我省略了) AO=AM+AN=1/3AB+1/4AC=1/3AB+1/4(AB+BC)=7/12AC+1/4BC 所以m+n=7/12+1/4=5/6
安吉县18988527972: △ABC中,AB=2,BC=4,角B=60°,设O是三角形ABC的内心,若向量AO=pAB+qAC,则p/q的值为 - ?
毕奚脂脉: 解:AC^2=2^2+4^2-2*2*4*COS60°=12, AC=2√3, 2^2+(2√3)^2=4^2, 所以AB⊥AC 内切圆的半径r=(2+2√3-4)/2=√3-1,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC, AEOF为一个正方形, AE=AF=√3-1,AE/AB=(√3-1)/2, AF/AC=(√3-1)/2√3 AE=(√3-1)/2*AB, AF=(√3-1)/2√3*AC 向量AO=向量AE+向量AF=(√3-1)/2*向量AB+(√3-1)/2√3*向量AC,p/q=[(√3-1)/2]/[ (√3-1)/2√3]=√3
安吉县18988527972: O是三角形ABC的内心,……AC=2,BC=3,AB=4.(AO=xAB+yAC)(括号中AO,AB,AC为向量),则x+y的值为? - ?
毕奚脂脉:[答案] X+Y=2/3.取点D,使四边形ABDC为平行四边形,延长AO,交BC于点E,交CD于点F.在AB边上取点G,使AC//GF.由题设及作法知,AF=AC+1/2AB.再由几何知识得AO:OE:EF=4:2:3.故AO=4/9AF,故AO=4/9AC+2/9AB.故X=2/9,Y=4/9.X+Y=2/3.
安吉县18988527972: 在三角形ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,O为三角形ABC的内心,且向量AO=mAB+nBC(AO,AB,AC都为向量)则m+n=? - ?
毕奚脂脉:[答案] ∵O为△ABC内角平分线的交点,设|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a,则有 a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0,.(1) 又:向量OB=向量(OA-BA),向量OC=向量(OA-CA),向量AC=向量(AB+BC), 由(1)式得, a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向...
安吉县18988527972: 已知O是等边三角形ABC的中心,向量AB=a,向量AC=b,则向量OA=?、向量OB=?、向量OC=??
毕奚脂脉: 选D用特殊法步骤如下:以O为中心点 ,做OA,OB,OD三条直线,切长度相同,互成120°; 则取OD中点为C,那么A、B、C即为满足题意的一组点,那么这时再求比例关系便不难了 以AB为底,容易看出两个三角形的高(取AB中点E)分别为EO和EC,大小关系嘛,就是答案D.
安吉县18988527972: 已知在△ABC中,AB=BC=3,AC=4,设O是△ABC的内心,若 AO=m AB+n AC,则m:n=() - ?
毕奚脂脉:[选项] A. 5:3 B. 4:3 C. 2:3 D. 3:4