什么是数学上的“五心”？

数学五心 具体是哪五心？ 加上标准定义 谢谢！拜托各位了 3Q~

指的是三角形的五心 三角形五心定律 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称， （一），三角重心重心定律：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫作三角形的重心．三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。 （二），三角形外心定律：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆心．注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。 计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 （三），三角形垂心定律：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2.垂心外心内心三心共线。 3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 ４此点分每条高线的两部分乘积 定律证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！ （四），三角形的内心定律：三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 （五），三角形旁心定律：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心 性质 每个三角形都有三个旁心。 它到三边的距离相等。 如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一. 三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心；重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 外心 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

、重心

　　三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
　　定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
　　重心坐标为三顶点坐标平均值。
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2、外心

　　三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
　　外心到三顶点距离相等。
　　过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
　　三角形有且只有一个外接圆。
　　外心公式：

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3、内心

　　三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。
　　三角形有且只有一个内切圆。
　　内心坐标公式：

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4、垂心

　　三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。
　　锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
　　三角形只有一个垂心
　　垂心坐标公式：

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5、旁心

　　与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
　　三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
　　三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
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五心的性质

　　三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
　　（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
　　（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
　　（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
　　（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
　　（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
　　（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
　　（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
　　（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
　　（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
　　下面是更为详细的性质：
1、垂心
　　三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
　　性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
　　性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
　　性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
　　性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
　　性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
2、内心
　　三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：
　　性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。
　　性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A，类似地还有两式；反之亦然。
　　性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。
　　性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。
　　性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
　　性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。
3、外心
　　三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：
　　性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
　　性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。
　　性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△。
　　性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。
　　性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4、重心
　　性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD·QE·QF最大；反之亦然。
　　性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。
　　性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然。
　　5、旁心
　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
　　2、每个三角形都有三个旁心。
　　3、旁心到三边的距离相等。

指的是三角形的五心三角形五心定律三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称，（一），三角重心重心定律：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫作三角形的重心．三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。（二），三角形外心定律：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆心．注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 （三），三角形垂心定律：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2.垂心外心内心三心共线。3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。４此点分每条高线的两部分乘积定律证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！（四），三角形的内心定律：三角形的三条内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。（五），三角形旁心定律：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心性质每个三角形都有三个旁心。 它到三边的距离相等。如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心；重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．外 心 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

“内心”:三角形内切圆的圆心，也就是三条角平分线的交点
“外心”:三角形外接圆的圆心
“重心”:三角形三条中线的交点
“垂心”:三角形三条高线的交点

“中心”这个说法不对，其实就是重心

内心:角平分线交点。
外心:垂直平分线交点。
中心:。。。
重心:中线交点。
垂心:垂线的交点。

内切圆的圆心
外接圆的圆心
中心属于等边三角形————————不是五心之一
中线交点
垂线交点

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范县15643417625： 数学的五心是什么 - ？
西朋贝友：[答案] 指的是三角形的五心三角形五心定律三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心..三角形五心定律指是三角形重心定律,外心定律,垂心定律,内心定律,旁心定律的总称,(一),三角重心重心定律:三角形的三条边...

范县15643417625： 数学上的五心 - ？
西朋贝友： 数学上的五心就是指三角形中的五个心 三角形五心分别为:重心、外心、内心、垂心、旁心 三角形三条中线的交点叫做三角形重心 三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点 三角形三边上的三条高或其延长线交于一点,称为三角形垂心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心叫做三角形旁心 望采纳,谢谢~

范县15643417625： 数学的五心是什么 - ？
西朋贝友： 指的是三角形的五心 三角形五心定律 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心..三角形五心定律指是三角形重心定律,外心定律,垂心定律,内心定律,旁心定律的总称, (一),三角重心重心定律:三角形的三条边的中线...

范县15643417625： 数学中的五心分别指什么?它们分别又是怎样得到的? - ？
西朋贝友： 1、重心 三角形三条中线的交点叫做三角形重心. 2、外心 三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心.3、内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点. 4、垂心 三角形三边上的三条高线交于一点,称为三角形垂心.5、旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心叫做三角形旁心.(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; (2)三角形的外心到三顶点的距离相等; (3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心;

范县15643417625： 数学“四线五心”是什么 - ？
西朋贝友：[答案] 1、数学“四线五心”:三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称之为三角形的五心;三角形的三条边的中线、三条边的垂直平分线、三条边的高、三个角的平分线称之为三角形的四线;2、三角形“四线五心”对应有五个定...

范县15643417625： 数学的五心(重心、外心等)详细介绍 - ？
西朋贝友： 重心外心垂心内心旁心称五心

范县15643417625： 什么是数学上的“五心”?？
西朋贝友： “内心”:三角形内切圆的圆心,也就是三条角平分线的交点 “外心”:三角形外接圆的圆心 “重心”:三角形三条中线的交点 “垂心”:三角形三条高线的交点 “中心”这个说法不对,其实就是重心

范县15643417625： 什么叫五心 - ？
西朋贝友： “五心”意为“忠心,爱心,关心,孝心,信心” 一说 “五心”即“爱心、信心、细心、耐心、恒心”. 数学上 三角形中的“五心”指三角形中的重心(barycenter)、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心.希望对你有帮助

范县15643417625： 数学的5心定理是哪5心?？
西朋贝友： 中心 重心 垂心 外心 内心

范县15643417625： 数学的三角形五心是指哪五心? - ？
西朋贝友：重心 外心 内心 垂心 旁心