线性代数特征值和特征向量怎么求
特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
解：
|λE-A| =
|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ|
|λE-A| = (λ-3)*
|λ-1 -3||-2 λ|
|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特征值 λ = -2， 3， 3
对于 λ = -2， λE-A =
[-3 -1 -3][ 0 -5 0][-2 -2 -2]
行初等变换为
[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]
行初等变换为
[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (1 0 -1)^T。
对于重特征值 λ = 3， λE-A =
[ 2 -1 -3][ 0 0 0][-2 -2 3]
行初等变换为
[ 2 -1 -3][ 0 -3 0][ 0 0 0]
行初等变换为
[ 2 0 -3][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (3 0 2)^T。
答：特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
扩展资料
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
求特征值的方法就是
行列式方程|A-λE|=0
解得λ 之后
再代入矩阵A-λE中
化简得到特征向量
线性代数的学习中，掌握方法很重要。下面就为大家慢慢解析，如何求特征值和特征向量。
特征值和特征向量的相关定义 01
首先我们需要了解特征值和特征向量的定义，如下图；
02
齐次性线性方程组和非其齐次线性方程组的区别，如下图；
03
特征子空间的定义，如下图；
04
特征多项式的定义，如下图；
05
特征值的基本性质，如下图；
齐次线性方程组解法 01
齐次线性方程组的特征就是等式右边为0，以消元法简化；
02
在初等数学方程组中都是有唯一解的，而在线性代数中，我们把这种情况称为方程组“系数矩阵的秩为1”，记为r(A)=1，当矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无数个解；当矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解。
由于上诉方程组有两个未知数，而r(A)=1<2，所以此组有无数个解。设 y=2 ,则 x=1；再设k为任意常数，则 x=k, y=2k为方程组的解，写成矩阵的形式为：
非齐次线性方程组解法 01
非齐次线性方程组因为不等于0，看起来很复杂，其实方法还是先用消元法简化步骤；
02
这一次进行初等行变换后，对于任意的非齐次线性方程组，当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数时，非齐次线性方程组有唯一解；当 r(A)=r(A|b)<未知数的个数时，非齐次线性方程组有无数个解；当 r(A) ≠r(A|b) 时，非齐次线性方程组无解。
可见 r(A)=r(A|b)=3，所以[A|b]有唯一解，写回方程组形式：
例题解析 01
求下列矩阵的特征值和特征向量；
02
求矩阵特征值和特征向量的一般解法；
03
试证明A的特征值唯有1和2；
04
证明性问题还是需要解出特征值。
关于特征值与特征向量的理解 01
对于特征值与特征向量，总结起来大概分为三种理解：
怎么理解线性代数中特征值和特征向量的关系?
首先早知道特征向量怎么来的，易知k重特征值η对应线性无关特征向量个数ξ=n-r(ηE-A)，其中n是A方阵阶数，非方阵无特征值。对于方阵λE-A通过初等行列变换一定可化成 \/ λ-λ1___a___b ... s \\ | ___λ-λ2___c ... g | | ___... ___| \\ ___λ-...
线性代数中求矩阵的特征值和特征向量要乘k吗?
线性代数中因题而异，有的地方求出特征向量后前面要乘K，有的地方不要。1、需乘k的地方：矩阵A的属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组（A－λE）X＝0的所有的非零解。而齐次线性方程组（A－λE）X＝0的所有的非零解可由其基础解系a1，a2，．．．，a（n－r）线性表示。所以A的属于特征...
什么是特征值?有什么性质?
拓展知识：特征值在线性代数中的应用：特征值的求解对于线性代数和相关领域有着广泛的应用。在物理、工程、计算机图形学等领域中，特征值和特征向量常用于描述变换、振动、稳定性分析、图像处理等问题。特征值分解还可以将矩阵分解成对角化的形式，简化矩阵运算。特征值分解和矩阵对角化：对于一个可对角化的...
线性代数,特征值个数跟特征向量个数什么关系?题目n个不同的特征值说明...
n阶矩阵最多有n个不同的特征值。矩阵可以有无数个特征向量。相同特征值可以对应不同的特征向量，不同特征值一定对应不同的特征向量。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成...
线性代数矩阵特征值与特征向量
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n 【评注】对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。
线性代数 特征值 特征向量 选择题 详细解释一下
选C。证：λ为A的特征值，x 为 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则 Ax= λx， 得 -Ax=-λx, 又 2Ex=2x，两式相加，得 (2E-A)x=(2-λ)x,说明 x 是 2E-A 的属于特征值 2-λ 的特征向量。即 λ 为 A 的特征值时，矩阵 2E-A 的特征值是 2-λ，特征向量不变。
线性代数的时候给了矩阵是怎么求特征值和特征函数的
如果这个矩阵设为A，那么是现求特征值，再求特征向量。就是解方程组AX=λX，移过来就是（A-λ）X=0，因为原来的AX里面的X是无穷多个解，所以（A-λ）X=0也是和AX一样的解，换句话说就是（A-λ）X=0有无穷多解，那么这个方程的系数矩阵的行列式就是0（无穷多解的其次方程组，系数矩阵拍成...
线性代数 求特征值与特征向量
1)其本身就是一个要掌握的知识点，其本身就有一系列比较好的性质，比如说特征值的积就是a的行列式值等等。2)在求相似对角型中，有ap=pb,此中的p就是a的特征列向量的一个排布，b则是一个与a同阶的对角阵，对角线上的元素都是a的特征值；3)在求二次标准型中的应用。由于二次型中要把一个...
什么是线性代数中的特征值?
如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。比如如果Pn（x）＝a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）＝x，则...
线性代数 求特征值与特征向量
1 0 -1 0 1 0 0 0 0 非零行的首非零元所在列对应的未知量是约束变量, 这里即 x1,x2 其余变量为自由未知量, 这里是 x3 行简化梯矩阵对应同解方程组:x1 = x3 x2 = 0 令自由未知量x3=1所得的解就是基础解系, 即 (1, 0, 1)'.事实上, 当只有一个自由未知量时, 可令它取...
葛畅羟甲： 将特征值代入特征方程,解出基础解系,就是特征向量. 系数矩阵化最简行1 0 -1 0 1 0 0 0 0 化最简形 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 增行增列,求基础解系 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 第1行, 加上第3行*1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 化最简形 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1得到基础解系: (1,0,1)T
中原区17774356865： 线性代数,特征值,特征向量的求解过程 - ？
葛畅羟甲： 1.求特征值代入后, |λE-A|=0.|λE-A|= λ+1 -4 2 3 λ-4 0 3 -1 λ-3第三行乘以(-1)加到第二行得 λ+1 -4 2 0 λ-3 3-λ 3 -1 λ-3第二列加到第三列得 λ+1 -4 -2 0 λ-3 0 3 -1 λ-4行列式以第二行展开! =(λ-3)[(λ+1)(λ-4)-3*(-2)] =(λ-3)[(λ^2-3λ+2)]...
中原区17774356865： 【线性代数】求特征值和特征向量 - ？
葛畅羟甲： |λI-A|= λ-5 2 -2 λ-1 = (λ-3)(λ-3)= 0 解得λ = 3(两重)将特征值3代入特征方程(λI-A)x=0-2 2 -2 2 第2行, 减去第1行*1 -2 2 0 0 第1行, 提取公因子-2 1 -1 0 0 增行增列,求基础解系 1 -1 0 0 1 1 第1行, 加上第2行*1 1 0 1 0 1 1得到属于特征值3的特征向量 (1,1)T
中原区17774356865： 线性代数 方阵的特征值与特征向量 求解过程 - ？
葛畅羟甲： 图片中的解答不对,矩阵A有误. |A-λE|= 2-λ 1 0 1 2-λ 0 0 0 3-λ =(3-λ)[(2-λ)^2-1] =(1-λ)(3-λ)^2. 所以A的特征值为 1,3,3 (A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T 所以A的属于特征值1的特征向量为 k1a1,k1≠0 (A-3E)X=0 的基础解系为 a2=(1,1,0)^T,a3=(0,0,1)^T 所以A的属于特征值3的特征向量为 k2a2+k3a3,k1,k2不全为0.
中原区17774356865： 如何求矩阵的特征值和特征向量? - ？
葛畅羟甲： 1、设x是矩阵A的特征向量,先计算Ax;2、发现得出的向量是x的某个倍数;3、计算出倍数,这个倍数就是要求的特征高核值.求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算的特征多项式;第二步:求出特征方戚中掘程的全部根,...
中原区17774356865： 怎么求矩阵的特征值和特征向量 - ？
葛畅羟甲：[答案] 对于任意方阵A,首先求出方程|λE-A|=0的解,这些解就是A的特征值,再将其分别代入方程(λE-A)X=0中,求得它们所对应的基础解系,则对于某一个λ,以它所对应的基础解系为基形成的线性空间中的任意一个向量,均为λ所对应的特征向量.
中原区17774356865： 线性代数特征值和特征向量的求法 - ？
葛畅羟甲： lp87562514 ,你好: 首先你要明白,只有方阵才有特殊值.设矩阵为[A],求|λE-A|=0的所有λ,这些λ就为矩阵A的特征值,其中有的是重的,有几次就叫几重特征值.然后再解(λE-A)x=0,得到的这些x(向量)就为矩阵A的属于λ特征值的特征向量.
中原区17774356865： 特征向量怎么求 - ？
葛畅羟甲：[答案] 1.先求出矩阵的特征值:|A-λE|=0 2.对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as 3.A的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,...,as 的非零线性组合
中原区17774356865： 线性代数 求特征值特征向量 第三个求大神手写 速度 - ？
葛畅羟甲： (3)先求特征多项式 得到4个特征值 2个为1,2个为-1再分别求特征值1和-1对应的特征向量 各对应2个过程如下图:
中原区17774356865： 线性代数 设A=[1 0 0上0 1 0中0 2 1下],求A的特征值和对应的特征向量. - ？
葛畅羟甲： 矩阵: 1 0 0 0 1 0 0 2 1 特征值: 特征值1: 1 特征值2: 1 特征值3: 1 特征向量: 向量1 向量2 向量3 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1
