已知F1,F2是双曲线的焦点,O是坐标原点,直线AB 过F1,且垂直于实轴,并于双曲线交于A,B两点,若向量AO⊥向
设双曲线的方程为x2a2?y2b2=1,a>0,b>0,∵F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于实轴的弦,△PQF2是等腰直角三角形,把x=-c代入双曲线的方程,得y=±b2a,∴2c=b2a,即2ac=b2,∴2ac=c2-a2,解得ca=1+2,ca=1-2(舍去),∴双曲线的离心率为1+2.故答案为:1+2.
根据题意,易得AB=2b2a,F1F2=2c,由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为锐角,即AF1<F1F2即可;所以有b2a<2c,即2ac>c2-a2,解出e∈(1,1+2),故选D.
不妨设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程可得y= ±b²/a.
所以A(-c, b²/a),B(-c,- b²/a).又 F2(c,0),
OA斜率为-b²/(a c),BF2斜率为b²/(2ac),
因为向量AO⊥向量BF2,所以-b²/(a c) •b²/(2ac)=-1,
b^4=2a²c², (c²-a²) ²=2a²c²,
c^4-4 a²c²+a^4=0,两边同除以a^4得:
e^4-4e²+1=0,利用求根公式得:e²=2±√3,(双曲线离心率大于1,e²=2-√3舍去)
所以e²=2+√3,e=(√6+√2)/2.
知F1,F2分别是双曲线(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O(O为坐标原点)为圆心...
解:连接AF1,则∠F1AF2=90°,∠AF2B=60°∴|AF1|=1\/2|F1F2|=c,|AF2|=√3\/2|F1F2|=√3c,∴√3c-c=2a,∴e=c\/a=1+√3 如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳如果有其他问题请另发或点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢。祝学习进步!
知F1,F2分别为双曲线C:x^2\/9-y^2\/27=1的左右焦点,点A∈C,点M的坐标为...
因为AM是角平分线,所以|AF1|:|AF2|=|F1A|:|AF2|=2:1,|AF1|-|AF2|=6 所以|AF2|=6
已知点F1,F2分别是双曲线x²\/a²-y²\/b²=1(a>0,b>0)的左右...
已知F1,F2分别是双曲线x^2\/a^2-y^2\/b^2=1的左右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若三角形ABF2为锐角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是__(1,1+√2)__过F1且垂直于x轴为x=-c 则 A(-c,b^2\/a)由对称性 得 F2A=F2B ∠F2AB=∠F2BA,肯定是锐角 ∵...
已知F1,F2分别是双曲线C:x^2\/a^2-y^2\/b^2=1,
c=3 过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点p,且角PF1F2=30° 结合PF1-PF2=2a ∴PF1=4a,PF2=2a ∴2a\/(2c)=tan30° ∴a=√3 ∴a^2=3,b^2=6 (1)双曲线是x^2\/3-y^2\/6=1 将y=kx+1代入x^2\/3-y^2\/6=1 得(2-k^2)x^2-2kx-7=0 直线y=kx+1与双曲线C的右支有两...
已知点F1,F2分别为双曲线x^2\/a^2-y^2\/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,P为双...
设|PF1|=m,则|PF2|=2a+m |PF2|²\/|PF1|=(2a+m)²\/m=(4a²+4am+m²)\/m =(4a²\/m+m+4a)≥9a 所以4a²\/m+m≥5a,m²-5am+4a²≥0.解得m≥4a或m≤a(舍).因为对任意的P,m≤a显然不成立.m≥4a时,c-a≥4a,所以e≥5....
双曲线焦点三角形基本公式
由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°,于是有d1(2)+d2(2)=|F1F2|2=20,因此,=2(1)d1d2=4(1)(d1(2)+d2(2)-|d1-d2|2)=1.解法二:由4(x2)-y2=1,知|F1F2|=2.设P点的纵坐标为yP,由于∠F1PF2=90°,则P在以|F1F2|为直径的圆上,即在...
已知双曲线的焦点在F1、 F2上,求F1、 F2的距离。
或S△F1PF2=b2\/tan(θ\/2)·例:已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为多少?解:由双曲线焦点三角形面积公式得:S△F1PF2=b2×cot(θ\/2)=√3设P到x轴的距离为h,则 S△F1PF2 =1\/2×h×2√2; h =√6\/2 参数方程 ...
F1,F2 是双曲线的焦点若双曲线右支存在P点满足|PF2|=|F1F2|
所以|PF1|=2a+2c 又因为PF1与圆x²+y²=a²相切,过O作OA⊥PF2交PF2与A 那么|OA|=a 因为O为F1F2的中点 过F2作F2B⊥PF1交PF2于B |F2B|=2a 因为△PF1F2为等腰三角形 所以PB=1\/2(2a+2c)=a+c 那么(a+c)²+(2a)²=(2c)²a=3\/5c 又a&...
双曲线题:已知F1,F2,分别为双曲线x^2\/a^2-y^2\/b^2=1(a>0,b>0)的左右...
设 A 点坐标为(m,n),则左焦点 F1(c,0)与 A 点连线方程为 (m+c)y-n(x+c)=0,右焦点 F2(c,0) 到该直线的距离 |n(c+c)|\/√(m²+n²)=2a,即 c²n²\/(m²+n²)=a²;所以 e²=c²\/a²=1+(m\/n)²;因...
F1、F2分别为双曲线x^ 2\/a^ 2-y^ 2\/b^ 2=1的左右焦点,P为双曲线左支上...
为简便 设d=|PF1| d'=|PF2| 则由双曲线几何意义知 对于左支上任一点P 有 d'=d+2a d>=c-a 故有f=d'^2\/d=(d+2a)^2\/d=4a+(d+4a^2\/d)由均值不等式可知 若d可取到2a 则d+4a^2\/d最小值为4a 此时f的最小值为8a<9a 与题意不符 若d取不到2a 则d+4a^2\/d...
侨鸣地塞:[答案] 这道题只要看向量的模即可 F1O=c PM的最小值为a^2/c+a 只要 a^2/c+a≤c 即可(要注意双曲线的离心率大于1) 解得离心率的范围为[(1+√5)/2,+∞)
卢氏县18488524913: 已知点F1.F2分别为双曲线X^2 - Y^2=1的两个焦点,O为坐标原点求以O为圆心,以线段F1F2为直径的圆O的方程. - ?
侨鸣地塞:[答案] a=1 b=1 c^2=2 c=正负根号2 那么半径为根号2 X^2+Y^2=2
卢氏县18488524913: 设O为坐标原点,F1,F2是双曲线x2a2 - y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P满足∠F1PF2=60° - ?
侨鸣地塞: 假设|F1P|=x ∵OP为三角形F1F2P的中线,∴根据三角形中线定理可知x2+(2a+x)2=2(c2+7a2),整理得x(x+2a)=c2+5a2,由余弦定理可知x2+(2a+x)2-x(2a+x)=4c2,整理得x(x+2a)=14a2-2c2,进而可知c2+5a2=14a2-2c2,求得3a2=c2 ∴c= 3 a,∴b= 2 a,∴渐近线为y=± 2 x,故答案为:y=± 2 x.
卢氏县18488524913: 选择题:已知F1,F2分别是双曲线的左右焦点,以双曲线右支上任意一点P为圆心 - ?
侨鸣地塞: 根据内切圆圆心距等于半径差 PF2=PF1-c c=2a c^2=4a^2 a^2+b^2=4a^2 b^2/a^2=3 b/a=√3 不妨设双曲线的焦点在x轴上 渐近线的斜率为b/a 倾斜角为60度,把两条渐近线画出来,就可以看出两条渐近线的夹角为60度
卢氏县18488524913: 点P是双曲线右支上一点,F1,F2是该双曲线的左,右焦点,点M为线段PF2的中点,O是坐标原点,若︳OM︳=3,则PF1= - ?
侨鸣地塞:[答案] 在三角形PF1F2中,有M,O分别是PF2,F1F2的中点,则有OM=1/2PF1 故有PF1=2OM=6
卢氏县18488524913: 已知F1、F2分别是双曲线 x2 a2 - y2 b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心,OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当△PF1F2的... - ?
侨鸣地塞:[选项] A. 2 B. 3 C. 6 2 D. 2
卢氏县18488524913: 已知F1,F2是双曲线上的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于实轴的弦...... - ?
侨鸣地塞: 你好 答案是1+根号2 假设双曲线为x^2/a^2-x^2/b^2=1 也就是F1、F2在x轴上 PQ是经过F1且垂直于实轴的弦 这句话的意思就是PQ垂直于x轴 你可以在纸上作图看看 三角形PQF2是等腰直角三角形 这个条件可以让我们知道 角PF2Q为直角 那么三角形PF2F1就是等腰直角三角形 也就是PF1=F1F2 F1(-c,0) F2(c,0) P(-c,b^2/2) 也就是b^2/2=2c 将b平方换成c平方-a平方 带入 化简得(c/a)^2-2c/a-1=0 可求的离心率c/a=1+根号2
卢氏县18488524913: 已知F1,F2是双曲线X^2/a^2 - y^2=1的左右两个焦点,点P在双曲线右支上,O为坐标原点,三角形POF2是面积为1已知F1,F2是双曲线X^2/a^2 - y^2=1(a,b都大于0... - ?
侨鸣地塞:[答案] 我大体说一下思路吧: 先求焦点(含有未知的a,b),得到焦点横坐标, 根据面积是1,利用面积公式可以求得正三角形的高, 根据正三角形的高与边长的关系,可以求得边长, 利用该边长等于OF2的长度,应该可以解得结果.
卢氏县18488524913: 已知F1,F2是两个定点,点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点 - ?
侨鸣地塞: 设PF1=x,PF2=y,不妨设x>y;设双曲线实轴长为2a2,椭圆长轴长为2a1 则:x-y=2a2,x+y=2a1 x²+y²=4c²(x-y)²+(x+y)²=2(x²+y²) 即:4a2²+4a1²=8c² a2²+a1²=2c² a2²/c²+a1²/c²=2 即:1/e1²+1/e2²=2 祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
卢氏县18488524913: 已知F1,F2分别是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的左右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线 - ?
侨鸣地塞: 设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m-n=2a ①,且三角形PF1F2为直角三角形,故有m2+n2=4c2 ②.再由 c/ a=5 可得 c=5a. 把①和②联立方程组解得 m=8a,故cos∠PF2F1 =|PF2| / | F1F 2| =m/ 2c =8a/ 2*5a=4/5