一道高中立体几何数学题
可以用共面四面体体积之比等于高之比的方法！
设整个四面体体积为1，则四面体CPMN体积为1/4
再取AB中点D连接DM、DN。形成中间的四面体PMND。则四面体PMND体积也为1/4。
球心O与P、M、N、D四点相连。形成四个四面体OPMN、OPMD、OPND、OMND。
这四个四面体体积相等。所以四面体OPMN体积为 四边形PMND即四边形PCMN体积的1/4
有因为四面体OPMN和四边形PCMN共底面PMN，所以球心O到平面PMN的距离是 C到平面PMN的距离的1/4
不懂可以追问，本人今年大二，以前也有过高中做题做不出来就很急的时候。我尽力帮忙。
(1）△ABC内,AB=BC,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形∴AB=AC=a,又PA=a,PB=√2a,
∴AB²+PA²=PB²，故△PBA为直角三角形，∴PA⊥AB，同理证得PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
(2)题目出错了。猜想应该是改成“EF//平面PBA”。
取PC上一点G,使得PG/GC=PE/ED,则PG/GC=BF/CF,EG//CD//AB,∴FG//BP,∴平面GFE//平面PBA∴EF//平面PBA
连接AC，取AC的中点为E，连接NE，连接ME。
因为PN = NC, AE = EC
所以PA//NE，又因为 PA⊥平面ABCD
所以NE⊥平面ABCD
所以NE⊥CD..........[1]
因为AM = MB, AE = EC
所以ME//BC，又因为AB⊥BC
所以ME⊥AB, 又因为AB//CD, 所以ME⊥CD.........[2]
因为[1]和[2]
所以CD⊥平面MNE
所以MC⊥CD
（2）取PD的中点F，连接AF, NF
因为PN = NC, PF = FD
所以NF//CD，又因为AB//CD
所以NF//AB
又因为AM = 1/2 AB = 1/2 CD = NF
所以AMNF是平行四边形
所以AF//MN
因为APD是等腰直角三角形，而F又是PD的中点
所以AF⊥PD， 又因为AF//MN
所以MN⊥PD，又因为MN⊥CD
所以MN⊥平面PCD
证明：（1）。连接AC、BD交于点O，连接NO
可得NO平行于PA
所以MO为MN在面ABCD内的射影
又因为MO为△ABC的中位线
所以MO平行且等于二分之一的BC
因为ABCD为矩形
所以MO平行于BC垂直于CD
所以MN垂直于CD
（2）因为角PDA=45°
所以PA=AD=BC
连接MP、MC
又因为M为AB的中点
△PAM全等于△MBC（SAS）
则MP=MC
所以三角形PMC为等腰三角形
因为N为PC中点
所以MN垂直于PC
又因为MC垂直于CD
CD交PC于点C
所以MN垂直于面PCD
p.s：解答时只需将文字描述换为几何语言即可
（1）取CD中点F，则NF⊥CD（因为PD在面ABCD的映射是AD，所以PD⊥CD则中线NF∥PD，即可得NF⊥CD）；又因为MF⊥CD，所以，CD⊥△MNF，即可推出CD⊥MN。
（2）取PD中点H，连接AH和NH ，则PD⊥AH，PD⊥AM，所以，PD ⊥面AMNH ，所以MN⊥PD，又因为CD⊥MN，所以MN⊥平面PCD
1.证：连结AC、AN、BN，∵PA⊥平面ABCD，Rt△PAC中，N是PC中点，∴AN=1/2PC；又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD、PA⊥AB，∴AD⊥平面PAB，∵BC∥AD，BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，Rt△PBC中，N是PC中点，∴BN=1/2PC；∴AN=BN，等腰△NAB中，M是AB中点，∴MN⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
2.证：作PD中点Q，连结AQ、NQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，Rt△PAD中，∠PDA=45°，∴PA=AD，又Q是PD中点，∴AQ⊥PD；∵△PCD中，N、Q是PC、PD中点，∴NQ∥=1/2CD，又MA∥=1/2CD，∴MA∥=NQ，∴四边形MNQA为平行四边形，MN∥AQ，∴MN⊥PD，又已证MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD。
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