一道高中立体几何数学题
可以用共面四面体体积之比等于高之比的方法!
设整个四面体体积为1,则四面体CPMN体积为1/4
再取AB中点D连接DM、DN。形成中间的四面体PMND。则四面体PMND体积也为1/4。
球心O与P、M、N、D四点相连。形成四个四面体OPMN、OPMD、OPND、OMND。
这四个四面体体积相等。所以四面体OPMN体积为 四边形PMND即四边形PCMN体积的1/4
有因为四面体OPMN和四边形PCMN共底面PMN,所以球心O到平面PMN的距离是 C到平面PMN的距离的1/4
不懂可以追问,本人今年大二,以前也有过高中做题做不出来就很急的时候。我尽力帮忙。
(1)△ABC内,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形∴AB=AC=a,又PA=a,PB=√2a,
∴AB²+PA²=PB²,故△PBA为直角三角形,∴PA⊥AB,同理证得PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
(2)题目出错了。猜想应该是改成“EF//平面PBA”。
取PC上一点G,使得PG/GC=PE/ED,则PG/GC=BF/CF,EG//CD//AB,∴FG//BP,∴平面GFE//平面PBA∴EF//平面PBA
连接AC,取AC的中点为E,连接NE,连接ME。
因为PN = NC, AE = EC
所以PA//NE,又因为 PA⊥平面ABCD
所以NE⊥平面ABCD
所以NE⊥CD..........[1]
因为AM = MB, AE = EC
所以ME//BC,又因为AB⊥BC
所以ME⊥AB, 又因为AB//CD, 所以ME⊥CD.........[2]
因为[1]和[2]
所以CD⊥平面MNE
所以MC⊥CD
(2)取PD的中点F,连接AF, NF
因为PN = NC, PF = FD
所以NF//CD,又因为AB//CD
所以NF//AB
又因为AM = 1/2 AB = 1/2 CD = NF
所以AMNF是平行四边形
所以AF//MN
因为APD是等腰直角三角形,而F又是PD的中点
所以AF⊥PD, 又因为AF//MN
所以MN⊥PD,又因为MN⊥CD
所以MN⊥平面PCD
证明:(1)。连接AC、BD交于点O,连接NO
可得NO平行于PA
所以MO为MN在面ABCD内的射影
又因为MO为△ABC的中位线
所以MO平行且等于二分之一的BC
因为ABCD为矩形
所以MO平行于BC垂直于CD
所以MN垂直于CD
(2)因为角PDA=45°
所以PA=AD=BC
连接MP、MC
又因为M为AB的中点
△PAM全等于△MBC(SAS)
则MP=MC
所以三角形PMC为等腰三角形
因为N为PC中点
所以MN垂直于PC
又因为MC垂直于CD
CD交PC于点C
所以MN垂直于面PCD
p.s:解答时只需将文字描述换为几何语言即可
(1)取CD中点F,则NF⊥CD(因为PD在面ABCD的映射是AD,所以PD⊥CD则中线NF∥PD,即可得NF⊥CD);又因为MF⊥CD,所以,CD⊥△MNF,即可推出CD⊥MN。
(2)取PD中点H,连接AH和NH ,则PD⊥AH,PD⊥AM,所以,PD ⊥面AMNH ,所以MN⊥PD,又因为CD⊥MN,所以MN⊥平面PCD
1.证:连结AC、AN、BN,∵PA⊥平面ABCD,Rt△PAC中,N是PC中点,∴AN=1/2PC;又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD、PA⊥AB,∴AD⊥平面PAB,∵BC∥AD,BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,Rt△PBC中,N是PC中点,∴BN=1/2PC;∴AN=BN,等腰△NAB中,M是AB中点,∴MN⊥AB,∵AB∥CD,∴MN⊥CD。
2.证:作PD中点Q,连结AQ、NQ,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,Rt△PAD中,∠PDA=45°,∴PA=AD,又Q是PD中点,∴AQ⊥PD;∵△PCD中,N、Q是PC、PD中点,∴NQ∥=1/2CD,又MA∥=1/2CD,∴MA∥=NQ,∴四边形MNQA为平行四边形,MN∥AQ,∴MN⊥PD,又已证MN⊥CD,∴MN⊥平面PCD。
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