对正整数n，设抛物线y^2=2(2n+1)x，过点P(2n,0)任作直线l交抛物线于An，Bn两点，求数列(4/向量OAn·OBn)的

~ 如果设k联立抛物线解方程，估计得弄个两个小时下不来，因为还要算到∠，再用tan转化到cos上，不弄哭你才怪。
话说回来，根据所求特点，不难想到最后会转化成1/n-1/n+b这种裂项相消的途径上来。可是你不能保证所求分母不为零。如果为零这道题目就没有了意义。
我来进一步说明：因为做的是任意直线，我们搞数学归纳法的上来就喜欢特殊值，不是吗？最后只需证明罢了，所以索性做垂直于x轴的直线。反过来想想，如果OA与OB数量积不是个与n有关的值的话，2011项带着cos角度的和谁能求出来，必然会转化成我上面说的裂项相消的形式。
将P（2n，0）带入方程你看，y=±√2（2n+1）2n 。OA和OB数量积就是-1/4n(n+1),所求的上面有个4.乘进来，不就是-[1/n-1/(n+1)]吗？答案轻松写出：-（1-1/2012)= - 2011/2012.
这一步只需十分钟运算。适合牛逼的填空题，记住，做填空选择时一定要这么做。

下面好戏开始了，如果碰到的是证明题或者解答题一类的大题，我给你做出简便的算法来。
解：①假设斜率k存在。
②不妨设焦点坐标A（y1^2/2(2n+1)）,y1); B（y2^2/2(2n+1)）,y2)y1≠y2---------这一步是简化计算的开始。
③作图（很关键），过A做x轴的垂线段H1，B做x轴的垂线段H2。连同P一起。
④共线这个条件如果解方程用那就很烦琐，不如用在三角形相似上，这是简化计算的精髓。因为共线，三角形BPH2与三角形APH1相似。得到的是AH1：BH2=PH1：PH2。即y1：-y2=(y1^2/2(2n+1))-2n：2n-(y2^2/2(2n+1))（留意你此时的正负号），右边分子分母同时乘以2（2n+1），非常快地化简出y1*y2=-4n（2n+1）
⑤OAOB数量积=[(y1y2)^2/(2(2n+1))^2]-y1y2=-1/4n(n+1)，此时还要说明一下斜率不存在时结果一致。
这道解析几何的计算题给我们的反思是：①，在计算量偏大的最后几道填空题或者选择题上果断猜测递推，特值法。
②，最后几道大题宁有种乎？最后几道大题时也会有转化技巧，同样没必要展开很大的架势列方程，联立解方程，画个图，多利用利用图形的几何关系或者几何定义会大大简化你的计算量。
③，如果轮到最后几道大题实在是没时间安排，就直接用垂直情况做。我记得当年12分的题这么做对了给6-8分。从结果入手OA和OB数量积就和y1y2的和差没关系，干嘛还要去列它们关于斜率k的方程呢？
最后，我觉得我能编你们的辅导书了我，祝你数学步步为营，分数与日俱增。
注明：裂项相消的式子是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，多写几项你就发现规律来了，中间的可以消去。剩个头和尾。

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