∫(1/ sinx) dx怎样求？

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【求解答案】

【求解思路】

1、运用三角函数的基本公式，将1/sinx转换成

2、用凑微分法，进一步简化

3、运用基本积分公式，得到最后结果

【求解过程】

【本题知识点】

1、不定积分。

设f(x)在某区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于任一x∈I，成立F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，且f(x)的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C

式中：∫——积分号，f(x)dx——被积式，f(x)——被积函数，F(x)——原函数，C——积分常数

注意：如果将求导看成一种运算，那么积分是其逆运算，也就是已知f(x)，要找一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，所以相对而言，积分比求导要困难。

2、不定积分法则

3、基本三角函数关系。

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

tanα·cotα=1

sin²α+cos²α=1

sec²α-tan²α=1

csc²α-cot²α=1

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

4、三角函数的基本公式。

5、凑微分法。凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

例如本题中，d(tan(x/2))就是凑微分的形式，把(tan(x/2))可以看成是一个新的变量。

∫cscxdx

=∫cscx (cscx-cotx) / (cscx-cotx) dx 

=∫1 / (cscx-cotx) d(cscx-cotx) 

=ln｜cscx-cotx｜+C

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以上方法可能有点已经被剧透了以后，有种“看着对方底牌出牌”的嫌疑，换句话说，就是知道答案凑答案。故，我不推荐这么做，所以：我给予第二种推法：

∫cscxdx = ∫ 1/sinx dx 

= ∫ sinx / (sinx)^2 dx 

= ∫ 1 / [1 - (cosx)^2] d(cosx) 

= ∫ 1 / [(1 + cosx)·(1 - cosx)] d(cosx)  

= 裂项 -1/2 ∫ ( 1/(1 + cosx) + 1/(1 - cosx)) dcosx 

= 根据积分可加性分别积分 -1/2 (ln|1 + cosx| - ln|1 - cosx|) + C 

= 1/2 ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C 

= 1/2 ln|(1 - cosx)^2/(1 - cosx)| + C 

= ln|(1-cosx)/sinx| + C 

= ln|cscx - cotx| + C----------// 证毕！

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不过现在都2202年了，计算机都这么发达了，这种问题交给计算机处理就可以了。下面，介绍一下，使用MATLAB，求不定积分。

（以下部分针对适合知道MATLAB是什么，怎么装和用的伙伴们）

我只给出代码：

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% 求不定积分

close all;  clear all;  clc;

syms x;

func = csc(x);

res = int(func, x)

pretty(res)

换一种解法，感受一下简洁。

供参考，请笑纳。

∫cscxdx
=∫cscx (cscx-cotx) / (cscx-cotx) dx

=∫1 / (cscx-cotx) d(cscx-cotx)

=ln|cscx-cotx|+C

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察雅县15174749043： 微积分问题,sinx分之一的不定积分是什么?∫(1/sinx)dx 是多少啊,我求不出来 - ？
濯店安胜：[答案] ∫(1/sinx)dx =∫1/[2sin(1/2)xcos(1/2)x]dx =∫d(x/2)/[tan(x/2)(cos^2(x/2)] =∫dtan(x/2)/tan(x/2)=Ln/tan(x/2)/+C =Ln/cscx-cotx/+C

察雅县15174749043： ∫(1/sinx)dx怎么求？
濯店安胜： ∫1/(sinx)dx =∫cscxdx =∫sinx/(1-cos²x) dx =-∫dcosx/(1-cos²x) =-1/2[∫dcosx/(1-cosx)+∫dcosx/(1+cosx)] = -1/2[∫-d(1-cosx)/(1-cosx)+∫d(1+cosx)/(1+cosx)] =-1/2ln(1+cosx)/ (1-cosx)+C =ln[(1-cosx)/sinx]+C =ln(cscx-cotx)+C

察雅县15174749043： ∫1/sinx dx 怎么求 - ？
濯店安胜：[答案] ∫ cscx dx = ∫ cscx · (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx = ∫ (csc²x - cscxcotx)/(cscx - cotx) dx = ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx) = ln|cscx - cotx| + C

察雅县15174749043： 计算不定积分∫1/(1+sinx)dx - ？
濯店安胜： ∫ 1/(1+sinx) dx = ∫ (1-sinx)/[(1+sinx)(1-sinx)] dx = ∫ (1-sinx)/(1-sin²x) dx = ∫ (1-sinx)/cos²x = ∫ (sec²x - secxtanx) dx = tanx - secx + C

察雅县15174749043： ∫1/sinx 怎么求 - ？
濯店安胜： ∫dx/sinx=∫cscx dx=∫d(cscx-cotx)/ (cscx-cotx)=ln|cscx-cotx| + C

察雅县15174749043： ∫ 1/(1+sinx) dx求解 - ？
濯店安胜： 万能代换?t=tan(x/2),1/(1+sinx)dx=1/(1+2t/(1+t^2))*2t/(1+t^2)dt=2t/(1+t)^2dt=(2/(1+t)-2/(1+t)^2)dt=2ln(1+t)+2/(1+t)+C=2ln(1+tan(x/2)+2/(1+tan(x/2))+C

察雅县15174749043： √(1 - sinx)dx - ？
濯店安胜： I=∫√(1-sinx)dx=∫[cosx/√(1+sinx)]/dx=∫[1/√(1+sinx)]/d(1+sinx)=2√(1+sinx)+C

察雅县15174749043： ∫(1/sinx)dx=? - ？
濯店安胜： J(1/sinx)dx=J(sinx/(sinx)^2)dx=-J1/(1-(cosx)^2)dcosx=ln((1-cosx)/(1+cosx))^(1/2)

察雅县15174749043： ∫(1/sinx)dx=?希望详细些谢谢 - ？
濯店安胜：[答案] ∫1/(sinx)dx =∫cscxdx =∫sinx/(1-cos²x) dx =-∫dcosx/(1-cos²x) =-1/2[∫dcosx/(1-cosx)+∫dcosx/(1+cosx)] = -1/2[∫-d(1-cosx)/(1-cosx)+∫d(1+cosx)/(1+cosx)] =-1/2ln(1+cosx)/ (1-cosx)+C =ln[...

察雅县15174749043： ∫√(1+sinx)dx=? - ？
濯店安胜： Let t = sinx + 1,dt = cosx dx cosx = √(1 - sin²x) = √[1 - (t - 1)²] = √t√(2 - t) ∫ √(1 + sinx) dx = ∫ √t * dt/[√t√(2 - t)] = -∫ 1/√(2 - t) d(2 - t) = -2√(2 - t) + C = -2√[2 - (sinx + 1)] + C = -2√(1 - sinx) + C