偏导数连续为什么一定可微？

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函数可微则这个函数一定连续，但连续不一定可微。多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为：

△z＝f（x0＋△x，y＋△y）－f（x0，y0）＝A△x＋B△y＋o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔（△x）＾2＋（△y）＾2〕＾0．5．o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）／ρ趋于零．则称f在P0点可微。

可微的充要条件是曲面z＝f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微，这个切面的方程应为Z－z＝A（X－x0）＋B（Y－y0）。

判断可导、可微、连续的注意事项：

1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：

（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。

（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。

（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。

（4）函数连续，偏导数不一定存在,函数不一定可微。

（5）函数不连续，偏导数不一定存在,函数不可微。

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无锡市15626141606： 多元函数可导,为什么加上偏导数连续连续才能可微? - ？
薛王亿松：[答案] 可导,但是它可能在某处函数曲线就断了,必须要是完整的函数,也就是连续才能可微.

无锡市15626141606： 为什么z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续,函数可微分?如题 - ？
薛王亿松：[答案] 偏导数与可微之间的独立关系:偏导数连续推出可微 可微推不出偏导数连续~

无锡市15626141606： 二元函数偏导数存在且 偏导数连续,那么这个函数是不是就是连续的?为什么?答案是这样的:偏导数连续--> 该函数可微该函数可微--> 该函数连续该函数可... - ？
薛王亿松：[答案] 首先偏导数连续是可微的充分条件,偏导数存在是可微的必要条件,也就是说存在一些偏导数不连续的函数但仍可微,也存在一些偏导数存在的函数但不可微,而可微一定连续(连续不一定可微),所以从偏导数存在是得不出函数连续的,按照上面...

无锡市15626141606： 可微分与偏导数连续的问题为什么偏导数连续能推出可微分,而可微分不能够推出偏导数连续【解释一下,谢谢【如果能够举个例子的话那更好 - ？
薛王亿松：[答案] 偏导数连续, 则可微分,好理解,例子举不胜举.可微分,但偏导数不一定连续.举例如下:分段函数 f(x,y)=(x^2+y^2)sin[1/(x^2+y^2}], x^2+y^2≠0; f(x,y)=0, x^2+y^2=0.在(0,0)可微分, f'(x,y), f'(x,y) 存在但不连续...

无锡市15626141606： 可微与偏导数的关系 - ？
薛王亿松：[答案] 一楼说反了,可微必然偏导数存在,偏导数存在不一定可微; 若偏导数存在且偏导函数连续则必可微; 但是可微只能推出偏导数存在,不能说明偏导函数连续. 希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的＂选为满意回答＂按钮,

无锡市15626141606： 二元函数中,为什么存在连续的偏导,函数就在某点可微,而函数偏导存在只是可微的一个必要条件呢? - ？
薛王亿松：[答案] 这个问题曾经也困扰我好久好久.现在说一下子我的理解.在一元函数中,具体到某一点,可导那么他在这个点的临域必连续,而根据可微的几何意义,只有这个点存在临域才可微(相信你看得这么深,肯定理解这句,单独一个点根本不...

无锡市15626141606： 有连续的偏导数能推出可微,为什么反之可微不能推出有连续的偏导数? ？
薛王亿松： 因为已经有例子,函数f(x,y)处处可微,但它的偏导数却不是连续函数. f(x,y)的表达式如下: 当xy≠0时,(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y) 当x≠0,y=0时,(x^2)*sin(1/x) 当x=0,y≠0时,(y^2)*sin(1/y) 当x=y=0时,0 你可以验证,这个函数在原点处可微,但两个偏导函数在原点处都不连续. 详可参阅:上海科学技术出版社《分析中的反例》P128,[美]B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德 著 高枚 译.

无锡市15626141606： 可微,偏导数连续关系偏导数连续必可微   2.可微偏导数一定连续  2. - ？
薛王亿松：[答案] 2不对,偏导数连续一定可微没错,而可微一定偏导数存在(不一定连续!),例如函数 f(x,y)=xysin[1/(x^2+y^2)^(1/2)],x^2+y^2≠0 0 ,x^2+y^2=0 这个函数在原点可微,但偏导数在原点不连续,你可以自己验证一下. 偏导数连续是可微的充分条件,偏导...

无锡市15626141606： 所有偏导都连续才可微还是有偏导存在就可微? - ？
薛王亿松： 1、在中国式微积分的概念中,我们有:在所有方向上可导,才是可微;可微一定是在所有方向上可导.所以有:可导不一定可微;可微一定可导.这句话已经成为中国微积分的经典教义. 只要在两个正交方向上的偏导连续,其实就是可微了.因为通过矢量合成,就可以得到各个方向的偏导,也就是得到所有方向的方向导数,这本身就是可微了.2、在国际的微积分中,可导 = differentiable;可微 = differentiable.可喜的是:汉语做了细化、分化;可惜的是:一湖春水不平静了,越细化,就越难跟国际理论整合了.走上歧途岔道,就不可避免了.

无锡市15626141606： 偏导 连续 可微分的关系!!!! - ？
薛王亿松： 1可微么通俗的讲就是当一个函数在某一点,其每个自变量都有一个微小的变化时,函数值的增量和每个自变量的增量乘以一个常数(这个常数就是偏导数)的值差不多. 2可微必连续,可微必可偏导.其他关系都不成立.