偏导数连续必可微证明

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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连续会一定可微吗?
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。判断可导、可微、连续的注意事项：1、在一元的情况下，可导＝可微－>连续，可导一定连续，反之不一定。2、二元就不满足以上的｀结论，在二元的情况下：（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数...

可微与连续的关系是什么?
可微=>可导=>连续=>可积。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，...

...在某一点是否可微的方法有哪些?一阶偏导数连续是指极限值存在且相等...
一阶偏导数连续是指在某一点的极限存在且与函数值相等，但注意，是指偏导数的极限与偏导数的函数值相等，不是求导前的那个函数。一阶偏导数连续能推出可微，这是可微的一个充分条件。除了这个条件，要想证明可微，就只能用可微的定义了。

可微,偏导数连续关系
2不对，偏导数连续一定可微没错，而可微一定偏导数存在（不一定连续！），例如函数 f(x,y)=xysin[1\/(x^2+y^2)^(1\/2)]，x^2+y^2≠0 0 ，x^2+y^2=0 这个函数在原点可微，但偏导数在原点不连续，你可以自己验证一下。偏导数连续是可微的充分条件，偏导数存在是可微的必要条件，这...

数学 为什么说 可微必连续
可以证明出来 令函数是在开区间上可微的，若函数的导函数是开区间上的连续函数，则称函数在开区间上连续可微 设f(x)在x0处可微,即极限lim(t→0)[(f(x0+t)-f(x0))\/t]存在,不妨设其为c,那么lim(t→0)[f(x0+t)-f(x0)]=lim(t→0)[(f(x0+t)-f(x0))\/t]lim(t→0)t=c...

可导,可微,可积和连续的关系
对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积 对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与...

函数可微的条件是什么
结论：一元函数的可微性与可导性是等价的，即可微必可导，可导必可微。然而，对于多元函数，可微性与偏导数存在有关，但偏导数存在并不自动意味着函数可微，只有当偏导数连续时，才确保可微。要证明一个函数在某点可微，关键在于验证定义，即函数增量与偏导数乘以对应变量增量之差的高阶无穷小性。对于一致...

可微为什么推不出偏导数连续
记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。必要条件：若函数在某点可微分，则函数在该点必连续。若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是什么?
设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy_x=x0。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续...

可微、可导与连续三者什么关系?可微的精确化定义是什么?怎样判断可微...
则称A�6�1△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。可导 根据定义，函数在一点可导，要求在该点存在左导数和右导数，且二者相等。那么该函数在一区域内任一点均满足此要求，则在该区域内可导。函数可导必可微，反之亦然可导必连续，连续未必可导 ...

无赖17870569164问： 偏导数存在并且函数连续就能说明函数可微分吗? - ？
建华区利胆回答：[答案] 不能,偏导数存在只是可微分的必要条件,充分条件是偏导数连续,即如果偏导数连续函数可微分.

无赖17870569164问： 多元函数之间的极限,连续,偏导存在,可微分是如何呢推导的? - ？
建华区利胆回答：[答案] 按定义是最根本的方法,除定义外,还有几个结论可用,连续一定极限存在,可微一定偏导存在,偏导连续一定可微.

无赖17870569164问： 怎么证明函数在某点上可微 我会证明连续和可导 怎么证可微呢是多元函数的一阶偏导数 证明可微 - ？
建华区利胆回答：[答案] 是对于多元函数来说,要证明在某一点是可微的,需要求出函数对各个未知数的偏导数.由于知道,各个偏导函数在这个点是连续的,则证明原函数在该点是可微的.证明是连续的方法也是 求出 左右极限,然后看这个极限值是否等于原函数在该点的原...

无赖17870569164问： 高数多元函数的偏导连续,则该函数可微,证明过程中, - ？
建华区利胆回答： 二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 1、若二元函数f在其定义域内某点可微,则二元函数f在该点偏导数存在,反过来则不一定成立. 2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续,反过来则不一定成立. 3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关. 4、可微的充要条件:函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续,则二元函数f在该点可微. 上面的4个结论在多元函数中也成立

无赖17870569164问： 求证:若二元函数的偏导数存在且连续,则该函数可微. - ？
建华区利胆回答： 这是可微的充分条件,其证明有的《高等数学》教材略过了,写起来一大段,有兴趣的可找《数学分析》的教材读读.

无赖17870569164问： 证明多元函数的可微性有几种方法呢?证明多元函数可微性几种思路:1证偏导数连续2用定义3.用定义证貌似不太熟练! - ？
建华区利胆回答：[答案] 证明多元函数可微主要有两种方法:方法一:证明偏导存在且连续方法二 用定义.简单来说就是全增量的表达式和p做比求极限,如果极限为0,可微

无赖17870569164问： 可微与偏导数的关系 - ？
建华区利胆回答：[答案] 一楼说反了,可微必然偏导数存在,偏导数存在不一定可微; 若偏导数存在且偏导函数连续则必可微; 但是可微只能推出偏导数存在,不能说明偏导函数连续. 希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的＂选为满意回答＂按钮,

无赖17870569164问： 可微,偏导数连续关系偏导数连续必可微   2.可微偏导数一定连续  2. - ？
建华区利胆回答：[答案] 2不对,偏导数连续一定可微没错,而可微一定偏导数存在(不一定连续!),例如函数 f(x,y)=xysin[1/(x^2+y^2)^(1/2)],x^2+y^2≠0 0 ,x^2+y^2=0 这个函数在原点可微,但偏导数在原点不连续,你可以自己验证一下. 偏导数连续是可微的充分条件,偏导...

无赖17870569164问： 如果偏导存在且连续,如果偏导存在且偏导连续,则可微;那么如果不可微是不是偏导就一定不连续(假设偏导存在)? - ？
建华区利胆回答：[答案] 其实在某点的偏导数存不存在都不能推导出是否微 但 :某点偏导均连续,则必定可以微 可微必定能推出F(X,Y)连续,但不能推出该点偏导数连续参考那个黄先开人大真题94页的推断关系图 查看原帖>>

无赖17870569164问： 函数连续,偏导数存在,能推出可微吗?函数的连续与偏导数的连续有无关系 - ？
建华区利胆回答：[答案] 函数连续,偏导数存在,不能推出可微,还需要偏导连续才能推出可微 但是可微必连续必可偏导

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