极限问题,请问两个重要极限的有没有适用范围
适用于(1+框框)^框框分之一,这个框框必须是同一个无穷小,如果不是,就通过指数的运算法则凑成同一个。
用这个极限求极限的难点就是凑,会凑之后剩下的就不是问题了。
因为y=sinx
/x为偶函数,所以只需考虑一侧即可
在单位圆中可得当0<x<π/2时,0<sinx<x<tanx,同除sinx得
1<x/sinx<1/cosx
即得cox<
sinx
/x<1
两边分别以x趋向于0取极限
左边的极限为1,右边是常数的极限为本身1
再由夹逼法则得sinx
/x在x→0的极限为1
重要极限是x趋向于∞不是趋向于+∞,右面不能相等因为不符合重要极限的定义。数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中。
逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述,“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
由来:
与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代,例如,祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。
古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”,他们避免明显地人为“取极限”,而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
可以这样理解:(1+1/x)^x~e,两者等价,但并不相等,有一点微小的区别。那么在此基础上,再加一个x次方,即变为[(1+1/x)^x]^x,由于x趋近于∞,这一点微小的区别便被无限放大了。因此[(1+1/x)^x]^x并不等价于e^x。
重要极限是x趋向于∞不是趋向于+∞,这个题不符合重要极限的定义才不能用的
你对极限的运算有点概念不清,你这里只对一部分求了极限,本质上是丢了一个高阶无穷小,因此计算错误。
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百仁小芯: 当然可以用于数列,分别是 {sin(1/n)/(1/n)} 与 {(1+1/n)^n} 的极限.
宁夏回族自治区15163133789: 关于高数中两个重要极限的问题 - ?
百仁小芯: “大于1的数的无穷大次方是无穷大”这是有问题的. 因为1+x并不是一个确定的数! x在变化,当x->0+的时候就有极限了. 如果(1+0.1)exp(1/x)当x->0+时,才有你说的情况.在高数后面就会看到,1exp(∞),(∞)exp(0)这种情况都是不定式,它们有可能趋近于无穷大,也可能趋近一个数.
宁夏回族自治区15163133789: 两个重要的极限的问题 - ?
百仁小芯: 你问的问题没太看懂,这个式子可以求x趋近0的极限,等于1.任何数的0次方都等于1,这个在存在具体数的时候是成立的.但并不适用于极限,例如,x^(1/lnx)(x趋近正无穷),这个函数的极限为e.这式子说明无穷大的0次幂不等于1.
宁夏回族自治区15163133789: 关于极限的第二个重要极限?
百仁小芯: x趋于0lim(1+x)^1/x=e=lim(1+1/x)^x,,,,,,,,,,,是1的无穷才能用
宁夏回族自治区15163133789: 函数两个重要极限? - ?
百仁小芯: 前面一个:首先根据面积的大小得到sinx<x<tanx,然后分90°>x>0与-90°<x<0(其实sinx/x为偶函数,考虑一边就行了),把sinx<x<tanx化为cosx<sinx/x<1,然后证明limx->0(cosx-1)=0,然后根据夹逼准则,得到答案 后面一个:.............................................................................................
宁夏回族自治区15163133789: 函数的第二个重要极限 - ?
百仁小芯: 前面一个:首先根据面积的大小得到sinxx>0与-90°0(cosx-1)=0,然后根据夹逼准则,得到答案后面一个:.............................................................................................
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百仁小芯: 归纳法得xn≥1,n≥1时,{xn}有下界 X(n+1)-Xn=1/2*(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0,所以{Xn}单调减少 所以{Xn}有极限,设极限是a 在Xn+1=1/2(Xn+ 1/Xn)两边取极限,a=1/2(a+1/a),得a=1(由极限的保号性,a=-1舍去)
宁夏回族自治区15163133789: 关于两个重要极限的题目 - ?
百仁小芯: 这问题是这样的:e^x / (1+1/x)^(x^2) =(e / (1+1/x)^x)^x 由于(1+1/x)^x趋于e,所以底数趋于1,指数x趋于无穷大,这是1的无穷大的情形,极限不是1,是未定式,,所以你不能直接用特殊极限,要借用其他方式解决. 设y=(e / (1+1/x)^x)^x lny=x(...