△ABC的三个内角都三等分后形成的三角形是等边吗

三角形的三个角均被三等分，所引出的线在三角形内相交的三个点。所形成的三角形 证明:是等边三角形~

莫利定理或者称莫雷定理
证法一
设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。
在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=
（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α
FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED为正三角形。[1]

证法二
∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），
AF：AB=sinβ：sin（α+β） ，
AB：AC=sin3γ：sin3β，
∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β）），
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），
sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，
∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)，
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，
同理∠CED=60°+α，
∴∠DEF=60°，
同理∠DFE=60°，
∴△DEF为正三角形。

莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理。 　　
　　将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 　　
　　该定理以其美妙和证明困难著称。到目前为止，已经有很多证明方法。 　　　
　　一种证明方法：设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。 　　
　　证法一： 　　
　　在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。 　　
　　不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，
　　所以AR= 　　
　　（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 　　　
　　2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 　　
　　同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 　　
　　在△ARQ中,由余弦定理,得
　　RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 　　
　　这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2 ，PR^2 有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,
　　所以△PQR是正三角形。 　　

　　证法二： 　　
∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）， 　　
AF：AB=sinβ：sin（a+β） ， 　　
AB：AC=sin3γ：sin3β， 　　
∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）， 　　
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）， 　　
∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β)， 　　
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ， 　　
同理∠CED=60°+a， 　　
∴∠DEF=60°， 　　
∴△DEF为正三角形。

参考：百度

答：△ABC的三个内角角都三等分后形成的三角形是分别大小成比例的等边三角形。

∵三角形的内角和是180°，又
△ABC的三个内角都三等分
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形

是的。。。

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道孚县13568984944： 三角形的三个角均被三等分,所引出的线在三角形内相交的三个点.所形成的三角形 证明:是等边三角形 - ？
韦轰克银： 莫利定理或者称莫雷定理 证法一 设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°. 在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β). 不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定...

道孚县13568984944： 如图,已知D、E、F、G、M、N为正三角形ABC各边的三等分点,求证:DEFGMN为正六边形 - ？
韦轰克银：[答案] 三等分,三个角上形成了3个新的正三角形 ,它的补角就是新六边形的角 都等于120 所以是正六边形

道孚县13568984944： 设三角形ABC的三内角的三等分线两两相交于D,E,F,求证:三角形DEF是等边三角形 - ？
韦轰克银：[答案] 莫利定理(Morley's theorem),也称为莫雷角三分线定理. 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 该定理以其美妙和证明困难著称.到目...

道孚县13568984944： 三角形三边的三等分点交点所构成的三角形等边三角形每边的三等分点与顶点连线,中间所构成的三角形占整个三角形的几份? - ？
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道孚县13568984944： 证明:在三角形ABC中,设分别接近于三边BC,CA,AB的各内角的三等分线相交于X,Y,Z,则三角形xyz是等边三角形.急需中,请尽快... - ？
韦轰克银：[答案] ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA、∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 又∠CBY=∠ABC/3、∠ACZ=∠BCA/3、∠BAX=∠CAB/3,∴∠BAX=∠CBY=∠ACZ, ∴∠ABX=∠BCY=∠CAZ. 由AB=BC=CA、∠BAX=∠CBY=∠ACZ、∠ABX=∠BCY=∠...

道孚县13568984944： 如图,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,已知任意三角形的3个内角的和都是180°,若∠A=80°, - ？
韦轰克银： 可以,挺简单的, 解:∵三角形内角和180° 又∵∠A=80° ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100° ∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB ∴∠1+∠4=100°÷2=50° ∵三角形内角和180° ∴∠BOC=180°-50° 证毕 (∵表示因为 ∴表示所以) 都是我一个字一个字打出来的

道孚县13568984944： 求解!如图,一道几何数学题D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线,三角形ABC的面积为4 - ？
韦轰克银： 这个题可用梅涅劳斯定理做比较有力. 梅涅劳斯定理:一条直线交三角形的三边(延长线)的分比之积等于1. 以图中的△ABD为例,直线FC交△ABD的三边(AD边于延长线)于F, I, C,则 (FA/FB)·(IB/ID)·(CD/CA)=1, 由于FA/FB=...

道孚县13568984944： 如图,三角形ABC中,BM,BN三等分角ABC,CM,CN三等分角ACB,且角A=54,求∠BNM度数 - ？
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道孚县13568984944： 在三角形ABC中,AB、AC两边分别被分成三等份,则阴影部分面积是三角形ABC面积的( ) - ？
韦轰克银： 由于是3等分 所以3个三角形底边长是原来的1/3 高分别是原来的1/3 2/3 11/3x1/3+1/3x2/3+1/3x1=1/9+2/9+3/9=2/3 则阴影部分面积是三角形ABC面积的( 2/3)

道孚县13568984944： 将正三角形ABC各边三等分,设分点为D、E、F、G、H、I.求证:多边形DEFGHI是正六边形 - ？
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