割圆术的数学意义

什么是芝诺悖论？刘徽的割圆术是怎么一回事？高等数学中的极限有什么意义？~

（一）芝诺悖论（Zeno's paradoxes）

芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。最有名的是以下两个。

阿基里斯与乌龟的悖论（Achilles and the tortoise
Paradox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。

二分法悖论（Dichotomy Paradox）：运动是不可能的。你要到达终点，必须首先到达全程的 1/2 处；而要到达 1/2 处，必须要先到 1/4
处??每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。

罗素（Bertrand
Russell）曾经说过，这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（Alfred
North
Whitehead）这样形容芝诺：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的”，可见争议之大。无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。

当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。

亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。他说，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。不过他的解释并不严格，因为我们很容易举出反例：调和级数
1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一项都递减，可是它的和却是发散的。

阿基米德（Archimedes）发明了一种类似于几何级数求和的方法，而问题中所需的时间是成倍递减的，正是一个典型的几何级数，所以追上的总时间是一个有限值。这个悖论才总算是得到了一个过得去的解释。直到
19 世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了一个形式化的描述。

尽管我们可以用数学方法算出阿基里斯在哪里以及什么时候追上乌龟，但一些哲学家认为，这些证明依然没有解决悖论提出的问题。出人意料的是，芝诺悖论在作家之中非常受欢迎，列夫·托尔斯泰在《战争与和平》中就谈到了阿基里斯和乌龟的故事，路易斯·卡罗尔（Lewis
Carroll）写了一篇阿基里斯和乌龟之间的对话，阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis
Borges）也多次在他的作品中谈到阿基里斯悖论。
（二）刘徽的割圆术是怎么一回事？
“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。

（三）
如果当自变量x无限接近实数x0时，函数值f(x)无限接近某个常数A，我们称这个常数A为当x→x0时，函数f(x)的极限，记作：
limf(x)=A。

从中国古代割圆术中可以看出（极限）数学思想的萌芽。

“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运，这是个不变的“常数”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。
根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。
由于“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，好测量；难计算精确的是“圆周长”。而通过刘徽的“割圆术”，这个难题解决了。只要认真、耐心地精算出圆周长，就可得出较为精确的“圆周率”了。——众所周知，在中国祖冲之最终完成了这个工作。

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河北区17359267238： 割圆术的意义所在是什么? ？
薛审生血： 也许大家都知道“圆周率和π”,但它的“含义及作用”往往被忽略,这也就是割圆术的意义所在

河北区17359267238： 求圆周率的计算方法!要解题思路! - ？
薛审生血：[答案] 割圆术 刘徽割圆术示意图片. 割圆术(cyclotomic method) 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法. “圜,一中同长也”.意思是说:圆只有一个中心,圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时...

河北区17359267238： 刘徽的“割圆术”是什么? ？
薛审生血： 割圆术(cyclotomic method) 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法.这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的...

河北区17359267238： 什么叫＂割圆术＂? - ？
薛审生血： 早在我国先秦时期,《墨经》上就已经给出了圆的这个定义,而公元前11世纪,我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆,人们也就开始了有关于圆的种种计算,特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所熟悉的这个公式.为了证明这个公式,我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇1800余字的注记,这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”.

河北区17359267238： 圆周率计算方法? - ？
薛审生血： 割圆术3世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法,所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法. 刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”.那么圆周率究竟是指什么呢...

河北区17359267238： 请详细列举中国数学史上三位数学家的功绩? - ？
薛审生血：[答案] 刘徽(魏晋,公元3世纪)(中国,2002),淄乡(今山东邹平县)人,布衣数学家,于263年撰《九章算术注》,不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理,并且多有...

河北区17359267238： 刘徽怎样使用割圆术的如题 - ？
薛审生血：[答案] 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法.这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后,经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法. 中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”...

河北区17359267238： 从中国古代割圆术中可以看出什么数学思想的萌芽 - ？
薛审生血： 极限数学思想.

河北区17359267238： 谁知道圆周率的计算法? - ？
薛审生血： 割圆术 刘徽割圆术示意图片.割圆术(cyclotomic method) 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法. “圜,一中同长也”.意思是说:圆只有...

河北区17359267238： 刘徽是如何计算圆周率的? - ？
薛审生血： 刘徽在他的《九章算术》“圆田术注”中,论证了圆面积公式,给出了著名的圆周率计算方法——“割圆术”,并利用它计算出在当时相当精确的圆周率值.割圆术也成为数学史上伟大的创造之一. 刘徽从圆内接正六边形开始,使边数逐次加倍...