《圆》整章的知识点和需要注意的地方,以及公式
学好圆整章知识,关键要掌握!以下知识点:祝你学习成功!1.圆的定义 圆的定义有两个: 其一:平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。 其二:平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆。 2.圆的其他相关量 ①圆心与半径:(如定义)固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O;定义中的定长即为半径,用字母r表示; ②弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径; ③圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧; ④圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角; ⑤等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。 3.垂径定理及其推论 ①定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 ②推论(四条) 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧; 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。 4.圆心角与圆周角 (1)定义 ①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角; ②圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 (2)定理及推论 ①圆心角 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 推论一:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等; 推论二:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。 ②圆周角 定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径; 推论二:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等; 推论三:圆内接四边形的对角互补。 5.点与圆的位置关系 (1)点和圆的位置关系 点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况:圆内、圆上和圆外。 一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下: 点P 在⊙O 外 等价于d >r 点P 在⊙O 上 等价于d =r 点P 在⊙O 内 等价于d <r (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心。 (3)反证法 不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系可分为三种:相交、相切和相离,详述如下: (1)相交 直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。 (2)相切 直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点。 (3)相离 即直线和圆没有公共点。 假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到: 直线l 和⊙O 相交 等价于d <r 直线l 和⊙O 相切 等价于d =r......直线l 和⊙O 相离 等价于d >r 7.关于切线的定理 (1)切线的定义 如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点。 (2)切线判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (3)切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 (4)切线长 经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。 (5)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 8.三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径。 9.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系主要可分为三种:相离、相切和相交,分述如下: (1)相离 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离;相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。 (2)相切 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切;相切又可分为外切和内切。 (3)相交 两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 10.正多边形和圆 我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形。 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 11.弧长和扇形的面积(一些特殊符号不好输入,只好截图了) 12.圆锥的侧面积 要学习圆锥的相关面积的计算,先要了解一个概念——圆锥的母线:我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。同一圆锥所有母线都相等。 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可以得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,而母线即为该扇形的半径,圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长。 在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系,即 ,有了这一关系式,关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解。 向左转|向右转
〖圆的定义〗
几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是3.14159265358979323846…,通常用π表示,计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。
两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。
切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl
九年级数学第23章
( 圆 )
一、选择题 (共8题,每题有四个选项,其中只有一项符合题意。每题3分,共24分):
1.下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆
2.在同圆或等圆中,如果 = ,则AB与CD的关系是( )
(A)AB>2CD; (B)AB=2CD; (C)AB<2CD; (D)AB=CD;
3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个
A.3 B.4 C.5 D.6
4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB‖CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )
A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm
5.在半径为6cm的圆中,长为2 cm的弧所对的圆周角的度数为( )
A.30° B.100 C.120° D.130°
6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )
A.80° B.100° C.120° D.130°
7. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则 等于( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.200 cm2
8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则 和 的度数分别为( )
A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30°
9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd, 则两圆的位置关系为( )
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A.180° B.200° C.225° D.216°
二、填空题:(每小题4分,共20分):
11.一条弦把圆分成1∶3两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为 .
12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.
13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.
14.如图(4), ⊙O中,AB、CD是两条直径,弦CE‖AB, 的度数是40°,则∠BOD= .
(4)
15. 点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.
16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6 ,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.
17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____
18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 ,则弧长与原弧长的比为______.
19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ‖OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.
三、解答题(第21~23题,每题8分,第24~26题每题12分,共60分)
21.已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
试说明:AC=BD。
22. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D, 求图形阴影部分的面积.
23. 如图所示,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
24.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?
25. 如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB是直径.(1)请你添加一个条件,使图中的四边形ABCD成等腰梯形,这个条件是 (只需填一个条件)。(2)如果CD= AB,请你设计一种方案,使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分,并给予证明.
26. 在射线OA上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作一直径为4cm的圆,问:过O的射线OB与OA的锐角α取怎样的值时,OA与OB(1)相离;(2)相切;(3)相交。
六年级圆的知识点应注意的事项
《圆》整章的知识点和需要注意的地方,以及公式
1、点和圆的位置关系:(设点到圆心的距离为d,圆的半径为r)①点在圆外 ___②点在圆上 ___③点在圆内 ___2、直线和圆的位置关系:(设直线到圆心的距离为d,圆的半径为r)①直线和圆___ d>r. 直线和圆有___个公共点.②直线和圆___...
九年级数学圆这一章的全部知识点
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。8.三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切...
九年级数学圆这一章的全部知识点
⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。...
六年级上册数学《圆》知识点整理
六年级上册数学《圆》知识点概述:1. 圆的基础概念:圆是由曲线围成的平面图形,其定义是通过圆心O的连续点的集合。圆心是圆内所有半径的交点,用字母O表示,半径是从圆心到圆周任意点的线段,用r表示,直径则是过圆心且两端在圆上的线段,用d表示,直径是圆中最长的线段。2. 圆的位置和大小:圆...
九年级数学下册圆的知识点整理
九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章 圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。☆ 内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种)2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。3.“...
圆的知识点有哪些???归纳一遍
一,〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗1. 正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系;2. 熟练地掌握确定一个圆的条件,...
九年级数学圆这一章的全部知识点
一、知识回顾 圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr²圆环面积计算方法:S=πR² -πr²或S=π(R² - r²)(R是大圆半径,r是小圆半径)三、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆...
求初三数学 圆这章知识点
圆的特征:圆是由一条曲线构成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离相等。圆心和半径的作用:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小 。圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴 。同一圆中直径是半径的2倍 圆的周长指围成圆的曲线的长。直径大的圆周长就大,直径小的圆周长就...
小学六年级数学《圆》思维导图,详细知识点详解!
弧是圆上两点间的部分,扇形由弧和过弧端点的两条半径定义。圆心角决定扇形大小,面积计算公式为S=πr²×n\/360。 想获取六年级《圆》的完整思维导图,可访问GitMind,进入“热门模板”搜索“圆”,免费下载高清版,享受在线编辑和分享的乐趣。
圆的知识点归纳总结
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线段两端距离相等...
宣光新力: 《圆》 一、三个位置关系: 1、点和圆的位置关系:(设点到圆心的距离为d,圆的半径为r) ①点在圆外 __________②点在圆上 _________③点在圆内 __________ 2、直线和圆的位置关系:(设直线到圆心的距离为d,圆的半径为r) ①直线...
达州市17095003660: 初三数学圆的知识点概括 - ?
宣光新力: 圆的有关性质 一,〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和...
达州市17095003660: 求必修二数学圆相关知识点,注意点 - ?
宣光新力:[答案] 、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r; (2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形. (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆...
达州市17095003660: 九上数学圆知识点总结?
宣光新力: 九上数学圆知识点总结:圆的周长:C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr² 圆环面积计算方法:S=πR²-πr²或S=π(R²-r²)(R是大圆半径,r是小圆半径) 知识要点一、圆的概念 集合形式的概念1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;...
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宣光新力: ⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆. 圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理...
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宣光新力: 最低0.27元/天开通百度文库会员,可在文库查看完整内容> 原发布者:libin051125 一、圆的认识1、日常生活中的圆2、画图、感知圆的基本特征(1)实物画图(2)系绳画图3、对比,感知圆的特征:我们以前学过的长方形、正方形、平行四边...
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宣光新力: 圆的特征:圆是由一条曲线构成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离相等.圆心和半径的作用:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小 . 圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴 . 同一圆中直径是半径的2倍...
达州市17095003660: 九年级圆的基础知识? - ?
宣光新力: 知识点1 圆的有关概念1. 圆心和半径:圆心确定位置,半径确定大小.等圆或同圆的半径都相等.2. 弦:圆上任意两点之间的线段.直径是圆中最长的弦.3. 弧:圆上任意两点之间的部分.完全重合的弧叫做等弧(强调度数相等且长度相等)4. ...
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宣光新力: 、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利...
达州市17095003660: 如何拟定中考数学圆章节的复习策略? - ?
宣光新力: 我最近也在整理圆的知识,我分为几个板块的:1)圆的性质 2)直线与圆 3)圆与圆 4)角与圆 5)直线与圆 6)三角形与圆 7)四边形与圆 首先分类好,整理每个部分的知识点,例如,圆的有关性质可以分为1)圆的定义和2)圆的有关性质,1)圆的定义包括点与直线的位置关系,不在同一直线上的三点确定一个圆,其中点和圆的位置关系是重点,那就上网或资料书找些该部分的习题.分开每一部分复习,特别是重点,要多做相关题目,然后再做综合的题目. 我自己总结了一些,不过是手写的,所以就说一下大概的方法而已,希望你自己也能从中找到一点头绪,好好复习.