《圆》整章的知识点和需要注意的地方，以及公式

如何学好圆那里的知识点，怎么做那一整章的题，如扇形那里~

学好圆整章知识，关键要掌握！以下知识点：祝你学习成功！1.圆的定义 圆的定义有两个： 其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。 其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。 2.圆的其他相关量 ①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示； ②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径； ③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角； ⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 3.垂径定理及其推论 ①定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 ②推论（四条） 推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧； 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。 4.圆心角与圆周角 （1）定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角； ②圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 （2）定理及推论 ①圆心角 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 ②圆周角 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 推论二：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等； 推论三：圆内接四边形的对角互补。 5.点与圆的位置关系 （1）点和圆的位置关系 点和圆的位置关系相对较为简单，可分为三种情况：圆内、圆上和圆外。 一般情况下，判断点和圆的位置关系，以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据，假设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P与⊙O的位置关系可表示如下： 点P 在⊙O 外 等价于d ＞r 点P 在⊙O 上 等价于d ＝r 点P 在⊙O 内 等价于d ＜r （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理，我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做该三角形的外心。 （3）反证法 不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离，详述如下： （1）相交 直线和圆有两个公共点，则直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。 （2）相切 直线和圆只有一个公共点，则直线与圆相切，该直线叫做圆的切线，该公共点叫做切点。 （3）相离 即直线和圆没有公共点。 假设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据上述定义，可以得到： 直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r 直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r......直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r 7.关于切线的定理 （1）切线的定义 如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线和圆相切，直线就叫做圆的切线，公共点即为切点。 （2）切线判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （3）切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 （4）切线长 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （5）切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 8.三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。另外还需知道一点，即三角形的内心到三角形三边的距离相等，也就是三角形内切圆半径。 9.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交，分述如下： （1）相离 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含，两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。 （2）相切 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切。 （3）相交 两圆相交较为简单，即如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 10.正多边形和圆 我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形，我们称之为正多边形。 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 11.弧长和扇形的面积（一些特殊符号不好输入，只好截图了） 12.圆锥的侧面积 要学习圆锥的相关面积的计算，先要了解一个概念——圆锥的母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。同一圆锥所有母线都相等。 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，而母线即为该扇形的半径，圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长。 在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系，即 ，有了这一关系式，关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解。 向左转|向右转

〖圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl
九年级数学第23章
（ 圆 ）

一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)：
1.下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆
2.在同圆或等圆中，如果 ＝ ，则AB与CD的关系是( )
(A)AB＞2CD； (B)AB＝2CD； (C)AB＜2CD； (D)AB＝CD；
3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个
A.3 B.4 C.5 D.6

4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB‖CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )
A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm
5.在半径为6cm的圆中,长为2 cm的弧所对的圆周角的度数为( )
A.30° B.100 C.120° D.130°
6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )
A.80° B.100° C.120° D.130°
7. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则 等于( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.200 cm2
8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则 和 的度数分别为( )
A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30°
9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd, 则两圆的位置关系为( )
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A.180° B.200° C.225° D.216°
二、填空题:(每小题4分,共20分)：
11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 .
12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.
13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.
14.如图(4), ⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE‖AB， 的度数是40°，则∠BOD＝ .





(4)

15. 点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.
16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6 ,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.
17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____
18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 ,则弧长与原弧长的比为______.
19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ‖OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.
三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分)
21.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC=BD。











22. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D, 求图形阴影部分的面积.











23. 如图所示,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.



24.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?












25. 如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径．（1）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是 （只需填一个条件）。（2）如果CD＝ AB，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明．













26. 在射线OA上取一点A，使OA＝4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA的锐角α取怎样的值时，OA与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交。

《圆》一、三个位置关系：1、点和圆的位置关系：（设点到圆心的距离为d，圆的半径为r）①点在圆外 __________②点在圆上 _________③点在圆内 __________2、直线和圆的位置关系：（设直线到圆心的距离为d，圆的半径为r）①直线和圆__________ d＞r. 直线和圆有____个公共点.②直线和圆__________ d=r. 直线和圆有____个公共点.③直线和圆__________ d＜r. 直线和圆有____个公共点.3、圆和圆的位置关系：（设两圆半径分别为R和r，且R＞r，圆心距为d）①两圆外离 __________. 两圆有____个公共点.②两圆外切 __________. 两圆有____个公共点.③两圆相交 __________. 两圆有____个公共点.④两圆内切 __________. 两圆有____个公共点.⑤两圆内含 __________. 两圆有____个公共点.二、几个重要的定理：1.垂径定理：①__________、②__________、③__________、④___________________、⑤___________________、这五个元素中，已知其中的___个，可以推出其它____个.2.圆心角定理：在同圆或等圆中①__________、②__________、③__________、④__________.这四个元素中，已知其中的___个，可以推出其它____个.3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____.（1）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________（2）直径所对的圆周角是_________；90°的圆周角所对的弦是______.4.切线的性质：①__________、②__________、③______________、这三个元素中，已知其中的___个，可以推出其它____个.5.切线的判定定理：经过直径的_____，并且__________________的直线是圆的切线.三、圆心角、圆周角的对比： 定义特征性质圆心角 ①角的顶点在_______②角的两边都和圆_____.圆心角的度数等于它____________.圆周角 ①角的顶点在________.②角的两边都和圆_____.圆周角的度数等于它____________.四、三角形的内心与外心的对比： 三角形的外心三角形的内心定义______________________________________________实质三角形_______________的交点三角形_______________的交点性质外心到__________的距离相等内心到___________的距离相等五、圆柱、圆锥：1.圆的周长公式：____________，弧长公式：____________.2.圆的面积公式：____________，扇形的面积公式：___________________.3.圆柱的侧面展开图是___________.圆锥的侧面展开图是___________.六、几个简单的正多边形与圆有关的计算： 边长外接圆半径内切圆半径周长面积正三角形a 正方形a 正六边形a 正八边形a 我就是老师，还可以吧？

六年级圆的知识点应注意的事项

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达州市17095003660： 《圆》整章的知识点和需要注意的地方,以及公式 - ？
宣光新力： 《圆》 一、三个位置关系: 1、点和圆的位置关系:(设点到圆心的距离为d,圆的半径为r) ①点在圆外 __________②点在圆上 _________③点在圆内 __________ 2、直线和圆的位置关系:(设直线到圆心的距离为d,圆的半径为r) ①直线...

达州市17095003660： 初三数学圆的知识点概括 - ？
宣光新力： 圆的有关性质 一,〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和...

达州市17095003660： 求必修二数学圆相关知识点,注意点 - ？
宣光新力：[答案] 、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r; (2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形. (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆...

达州市17095003660： 九上数学圆知识点总结？
宣光新力： 九上数学圆知识点总结:圆的周长:C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr² 圆环面积计算方法:S=πR²-πr²或S=π(R²-r²)(R是大圆半径,r是小圆半径) 知识要点一、圆的概念 集合形式的概念1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;...

达州市17095003660： 九年级数学圆这一章的全部知识点？
宣光新力： ⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆. 圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理...

达州市17095003660： 小学六年级上册数学圆的知识点 - ？
宣光新力： 最低0.27元/天开通百度文库会员,可在文库查看完整内容> 原发布者:libin051125 一、圆的认识1、日常生活中的圆2、画图、感知圆的基本特征(1)实物画图(2)系绳画图3、对比,感知圆的特征:我们以前学过的长方形、正方形、平行四边...

达州市17095003660： 求初三数学 圆这章知识点 - ？
宣光新力： 圆的特征:圆是由一条曲线构成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离相等.圆心和半径的作用:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小 . 圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴 . 同一圆中直径是半径的2倍...

达州市17095003660： 九年级圆的基础知识? - ？
宣光新力： 知识点1 圆的有关概念1. 圆心和半径:圆心确定位置,半径确定大小.等圆或同圆的半径都相等.2. 弦:圆上任意两点之间的线段.直径是圆中最长的弦.3. 弧:圆上任意两点之间的部分.完全重合的弧叫做等弧(强调度数相等且长度相等)4. ...

达州市17095003660： 求必修二数学圆相关知识点,注意点 - ？
宣光新力： 、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利...

达州市17095003660： 如何拟定中考数学圆章节的复习策略? - ？
宣光新力： 我最近也在整理圆的知识,我分为几个板块的:1)圆的性质 2)直线与圆 3)圆与圆 4)角与圆 5)直线与圆 6)三角形与圆 7)四边形与圆 首先分类好,整理每个部分的知识点,例如,圆的有关性质可以分为1)圆的定义和2)圆的有关性质,1)圆的定义包括点与直线的位置关系,不在同一直线上的三点确定一个圆,其中点和圆的位置关系是重点,那就上网或资料书找些该部分的习题.分开每一部分复习,特别是重点,要多做相关题目,然后再做综合的题目. 我自己总结了一些,不过是手写的,所以就说一下大概的方法而已,希望你自己也能从中找到一点头绪,好好复习.