九年级数学圆这一章的全部知识点
1.圆的定义
圆的定义有两个:
其一:平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二:平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径:(如定义)固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O;定义中的定长即为半径,用字母r表示;
②弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径;
③圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧;
④圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;
⑤等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
②推论(四条)
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧;
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
4.圆心角与圆周角
(1)定义
①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角;
②圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)定理及推论
①圆心角
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
推论一:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等;
推论二:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。
②圆周角
定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;
推论二:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等;
推论三:圆内接四边形的对角互补。
5.点与圆的位置关系
(1)点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况:圆内、圆上和圆外。
一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下:
点P 在⊙O 外 等价于d >r
点P 在⊙O 上 等价于d =r
点P 在⊙O 内 等价于d <r
(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心。
(3)反证法
不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种:相交、相切和相离,详述如下:
(1)相交
直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
(2)相切
直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点。
(3)相离
即直线和圆没有公共点。
假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到:
直线l 和⊙O 相交 等价于d <r
直线l 和⊙O 相切 等价于d =r
直线l 和⊙O 相离 等价于d >r
7.关于切线的定理
(1)切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点。
(2)切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(3)切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
(4)切线长
经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(5)切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径。
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种:相离、相切和相交,分述如下:
(1)相离
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离;相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。
(2)相切
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切;相切又可分为外切和内切。
(3)相交
两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形。
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
11.弧长和扇形的面积(一些特殊符号不好输入,只好截图了)
12.圆锥的侧面积
要学习圆锥的相关面积的计算,先要了解一个概念——圆锥的母线:我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。同一圆锥所有母线都相等。
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可以得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,而母线即为该扇形的半径,圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长。
在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系,即 ,有了这一关系式,关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解。
向左转|向右转
圆的特征:圆是由一条曲线构成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离相等。
圆心和半径的作用:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小
。
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴
。
同一圆中直径是半径的2倍
圆的周长指围成圆的曲线的长。直径大的圆周长就大,直径小的圆周长就小
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用π表示,计算时通常取3.14
圆的周长:C=2πr或C=πd
求半径:r=C/2π
求直径:d=C/π
圆的面积意义:圆形物体,图形所占平面大小或圆形物体表面大小是圆的面积
。
面积计算公式:π*r的平方
圆环面积计算方法:S=πR的平方-πr的平方或S=π(R的平方-r的平方)
(R是大圆半径,r是小圆半径)
一、知识回顾
圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr²圆环面积计算方法:S=πR² -πr²或S=π(R² - r²)(R是大圆半径,r是小圆半径)
三、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内;
2、点在圆上 点在圆上;
3、点在圆外 点在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点;
2、直线与圆相切 有一个交点;
3、直线与圆相交 有两个交点;
四、圆与圆的位置关系
外离(图1) 无交点 ;
外切(图2) 有一个交点 ;
相交(图3) 有两个交点 ;
内切(图4) 有一个交点 ;
内含(图5)
无交点
;
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①是直径 ②
③
④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
顶点到圆心的角,叫圆心角。
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①;②;
③;④ 弧弧
七、圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角
∴
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙中,∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△中,∵
∴△是直角三角形或
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙中,
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵且过半径外端
∴是⊙的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙中,∵弦、相交于点,
∴
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙中,∵直径,
∴
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙中,∵是切线,是割线
∴
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙中,∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:垂直平分。
即:∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:中,;
(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:(1)弧长公式:;
(2)扇形面积公式:
:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
2、圆柱:
(1)A圆柱侧面展开图
=
B圆柱的体积:
(2)A圆锥侧面展开图
=
B圆锥的体积:
初四圆这一章的内容中,什么是斜切角?
一、初四圆这一章的内容里,没有斜切角的数学概念,应是弦切角。定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。二、弦切角的特征:1、顶点在圆上;2、一条边与圆周相交,另一条边与圆相切,切点在圆周上;3、弦切角的大小等于它所夹的弧所对的圆周角的大小。三、弦切角的定理:...
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