二维Cauchy（柯西）不等式的适用范围
1：柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
2：
二维形式
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...
证明
|a|*|b|≤|a*b| ,a=（x1，y1），b=（x2，y2）
(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]
推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤ (a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))
三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示根
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和)
概率论形式
√E(X) √E(Y)≥∣E(XY)∣
二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
注：| |表示绝对值。
向量形式的证明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
注：“√”表示平方根。
一般形式的证明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
证明：
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项
用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
其中，当且仅当ai : bi = aj : bj(i, j∈[1, n])
推广形式的证明
推广形式为 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
证明如下
记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
因此，不等式(*)成立.
（注：推广形式即为卡尔松不等式）
代数形式
设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数
则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立。
注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
扩展资料：基本方法有:
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
学的东西一样亲切那。
作为已经考过联赛并且不过的懒人，我就说几句。
2010年的奥赛，出现了可能需要三维柯西不等式的内容，请勿拘泥于二阶。
顺便一提四阶卡尔松不等式也很重要，请尽量铭记。
三角形式的一般用不到，就别太在意了。
使用的不等式范围啊，咱记得只要是负1、2次的都可以试用一下，不过要注意范围，不要生搬硬套地乱用，许多都是变形以后才得解的。
特别注意题设中和为定值的条件，一般柯西不等式的使用以此为基础。
你应该知道不等式构成的条件是什么，一般都是同次之间的比较。
所以说尽量试着去构造这样的条件。
柯西不等式并非万能，只是老师给你的题很万能。
因为是专项练习题啊。
在此我总结一下，就看你看不看得懂了
在次数为负的不等式中，经常使用（一般是大于某值，99%都是）
在一些特定的齐次轮换式中用到，但是几率很低，一般这种都用轮换构造法
在形式相同的函数相加时，如指定函数关于X、Y、Z的函数值相加时用到，但是同样的，这种一般用琴生不等式求解，如果想愉快的使用还要预习下导数才行
还有就是，在老师给你的那些很正的题里才用到。
你不是数学的开拓者，若是你就会懂得许多的公式证明都有柯西不等式的影子
在内，这时也会用到。
所以说，柯西不等式并非万能，只有对应到特殊形式才可以用。
考竞赛的话，直接给你题不可能，通常要经过很麻烦的变形或者不易看出的变形（也许很简单的）才可以使用。若你不考竞赛，看到柯西的形式直接套就可以。
所以你的问题只能说是在做题中不断积累自己的心得，掌握较高的代数技巧之后才能回答的。
我给你两点建议
1、要注意里面的系数都是正系数（不等式原型里给的是平方，仅对二维而言）
有负系数的话变形为正系数才可以用
2、（考竞赛的话）对于齐次不等式而言，可以通过设和定值为一，或积定值为一，来给自己增设隐形条件。
具体的证明很简单，可以问问老师，咱个人觉得加个条件挺好用的。
以上。
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