数学必修五，正弦定理。详细过程。谢谢！

~ 正弦定理（The
Law
of
Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA
=
b/sinB
=c/sinC
=
2R（R为外接圆半径）。
中文名
正弦定理
外文名
The
Law
of
Sines
别
称
The
Sine
Law
表达式
a/sinA
=
b/sinB
=
c/sinC
=
2R
提出者
韦达（海伦、秦九韶）
提出时间
10世纪
应用学科
数学
适用领域范围
几何
适用领域范围
三角关系
目录
1
定理内容
2
定理证明
3
公式变形
4
定理意义
5
实际应用
定理内容编辑
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有：
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。[1]
定理证明编辑
示意图（A）
显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若
1
∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c=
2R。[1]
∵
（特殊角正弦函数值）
∴
2
若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交
⊙O于C`，连接C'A，显然BC'=
2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。
2A
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C
∴
，有
。[2]
2B
示意图（B）
若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出
。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知
因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得
。故对任意三角形，定理得证。[3]
实际上该定理也可以用向量方法证明。[4]
公式变形编辑
△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，使用正弦定理进行变形，有
1.
（齐次式化简）[5]
2.
,
,
3.
4.
5.
（面积公式）[6]
定理意义编辑
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。[3]
实际应用编辑
1、在解三角形中，有以下的应用领域：
已知三角形的两角与一边，解三角形。
已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。[6]
运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
注意：
锐角三角形
解三角形时，已知两角与一边，三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。若已知A、A的对边a、A与a的夹边C，则：[1]
[4]
对于钝角三角形，
若a≤b，则无解；
若a>b，则有一解；
对于锐角三角形，
若a<bsinA，则无解；
若a=bsinA，则有一解；
若bsinA<a<b，则有二解；
若a≥b，则有一解。[1]
钝角三角形
2、三角形面积的计算。[2]

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岚皋县15623046648： 高中数学必修5的正弦定理的一些知识.sinA+cosC为什么会等于sin(A+C)?sin(A+C)又为毛会等于sinB? - ？
凭咱氨甲：[答案] 你说的前提是在三角形内,ABC 为三角形的三个角,SIN(A+C)=sin(π-A-C),根据诱导公式可得=sinB,第一个有没有前提条件,比如知道一角或之类的?不然只能用公式了

岚皋县15623046648： 高中数学必修5中正弦定律如何运用~~知识点不懂 麻烦您说一下 - ？
凭咱氨甲： 正弦定理:在△ABC中,角A、来B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角源形外接圆的半径)主要应用分为这三类 (1)已知三角形的两角与一边,解三角2113形(2)已知三角形的两边和其中5261一边所对的角,解三角形(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 正弦定理指出了任4102意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式.也就是任意三角形的边角关系.换句话说,在遇到有三角形作为解题突破点的题目时,可以通过该定理解出该三角形,从而推出更多的解题条件.1653

岚皋县15623046648： 高一 数学 正弦定理 请详细解答,谢谢! (6 13:41:57) - ？
凭咱氨甲： 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中ABC是三角...

岚皋县15623046648： 一道数学高中必修5正弦余弦定理的题 - ？
凭咱氨甲： 由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=c/sinC,∵b^2=ac,∴(sinB)^2=sinAsinC ∵C=90°,∴B=90°-A,[sin(90-A)^2=sinA*sin90°,即(cosA)^2=sinA,1-(sinA)^2=sinA,∵0解得sinA=(√5-1)/2,实质A=18°

岚皋县15623046648： 高一数学正弦定理(写出详细过程并计算结果,满意的话+分 - ？
凭咱氨甲： (1)sinAsinB=sinAsin(π-A)=sinAcosA=sin2A/2 则易有最大值为A=π/4时最大为1/2 (2)sinA/BC =sinC/2 sinC/2是定值,则要使BC最大,即要sinA最大,则当A=π/2时最大,此时B=40°.(3)a/cos(A/2)=b/cos(B/2)=c/cos(C/2)① 又有a/sinA=b/sinB=c/sinC② 则①/②得sinA/cos(A/2)=sinB/cos(B/2)=sinC/cos(C/2) 又sinA=2sin(A/2)cos(A/2) 则有sin(A/2)=sin(B/2)=sin(C/2) 则△ABC是等边三角形.

岚皋县15623046648： 高中数学 正弦定理.求详细过程 - ？
凭咱氨甲： ∵bsinA=asinB=4,acosB=3 ∴tanB=4/3,∴sinB=4/5 ∴a=bsinA/sinB=5

岚皋县15623046648： 高一数学必修五正弦定理的解答 - ？
凭咱氨甲： 做两个△ABC如图 组成一个平行四边形abb'c 求平行四边形abb'c面积即可 面积为√3 +3/4

岚皋县15623046648： 高一数学正弦定理 在三角形ABC中,已知边c=10,且cosA/cosB=b/a= 4/3,求边b,c的长.详细过程!？
凭咱氨甲： cosA/cosB=b/a 由正弦定理 cosA/cosB=sinB/sinA sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B或2A+2B=π 因为 b≠a 所以 B≠A 所以 2A+2B=π A+B=π/2 C=π/2 b/a=4/3 设b=4k,a=3k,则c=5k=10 k=2 所以 b=8,a=6,c=10

岚皋县15623046648： 高一数学必修五正弦定理题？
凭咱氨甲：利用正弦定理: a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R(R为三角形外接圆的半径) 所以: sinA = a / 2R sinB = b / 2R sinC = c / 2R 代入,得: ( b-c )sinA+( c-a )sinB+( a-b )sinC = (b - c)*a / 2R + (c - a)*b / 2R + (a - b)*c / 2R = (ab - ac + bc - ab + ac - bc) / 2R = 0 够详细吧?不懂追问

岚皋县15623046648： 数学必修5数学题 正弦定理 余弦定理 把方法将清楚我就明白了？
凭咱氨甲： 1.直角三角形 ,sina的平方+sinb的平方=1,在用基本不等式sinA*sinB<={(sina)^2+(sinb) ^2}/2 2.余弦定理,待定系数直接求cosa 3;正弦定理,知道3个独立条件,这个三角形的各个边角都能求出来了 4,先正弦定理.a:b:c=7:8:13 在根据余弦定理c=……求出cosc 5,余弦定理,写出a,b的关系,在根据基本不等式a^2+b^2>=2ab 求出最值 6.全化成边,或者全化成角 7.同上 8.全化成边或者把角C化成π-A-B,只有这两种方法,化成边看起来复杂,做起来估计比化成角好点