写出小于20的三个自然数,使它们的最大公因数是1,但其中任意两个数不互素
【题目】写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质。
【解析】
为方便起见,我们用a、b、c表示所写的三个自然数,那么a、b、c应满足以下条件:
a、b、c都是小于20的自然数,(a,b,c)=1,
同时(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1。
从条件(a,b,c)=1出发,很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数。
从条件(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1出发,也很容易发现a、b、c三个数也不能同时在1,2,3,5,7,11,13,17,19中分别取值。
另外a、b、c三个数中的任一个不能取20以内的质数。如果假设a是质数,为保证(a,b)>1,(a,c)>1,那么b、c都应是a的倍数,即b=aq,c=aq2,这一来(a,b,c)=a>1,与(a,b,c)=1矛盾。
另外a、b、c三个数中的任意两个数,其中一个不能是另一个的倍数。如果a是b的倍数,那么有(a,b)=b。为保证(b,c)=d>1,便有(a,b,c)=d>1,与(a,b,c)=1矛盾。
通过上面分析我们可以看出,a、b、c三个数只有两种可能:一是两偶一奇,一是两奇一偶,且这里的奇数不能是1和质数。
先来讨论两奇一偶的情况。20以内的奇数除了1和质数外,只有9和15两个数,20以内的偶数除了2之外,还有4,6,8,10,12,14,16,18八个数。因为18是9的倍数,而(9,15)=3,所以偶数不能取18。又因为(9,4)=1,(9,10)=1,(9,14)=1,(9,16)=1,所以偶数不能取4、10、14、16,只剩下6和12这两个偶数,但是(6,9,15)=3,(12,9,15)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故两奇一偶的情况不会出现。
再来研究两偶一奇的情况。一个奇数如果是9,根据上面的分析,另外的两个偶数不能是4、10、14和16,而18又是9的倍数,也不行,只剩下6和12,而(6,9,12)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故奇数是9时无答案。
当一个奇数是15时,因为(4,15)=1,(14,15)=1,(15,16)=1,所以偶数不能取4、14、16。只剩下6、10、12、18这四个偶数。又因为12、18是6的倍数,所以两个偶数不能取6、12或6、18。这一来只有6、10;10、12;10、18;12、18这四种情况,而(12,15,18)=3,与(a,b,c)=1矛盾,所以只有三种情况。
因为(6,10)=2,(6,15)=3,(10,15)=5,(6,10,15)=1;
(10,12)=2,(12,15)=3,(10,15)=5,(10,12,15)=1;
(10,15)=5,(10,18)=2,(15,18)=3,(10,15,18)=1。
所以满足要求的a、b、c只有下面三组:
{6,10,15},{10,12,15},{10,15,18}
此题还可以这样想,因为a、b、c是小于20的合数,所以它们分解质因数后只能含有质因数2、3、5、7。按照题目的要求将2、3、5、7适当搭配,可得下面结果:
2×3, 2×5, 3×5;
22×3, 2×5, 3×5;
5×3, 2×5, 2×32。
只有这三个数各自有两个以上不相等的因数时,才符合题意
在20以内只有三个数符合条件:
6=2×3
10=2×5
15=3×5
所以这三个数是6、10、15
这3个数是:6、10、15。他们的最大公约数是1,符合条件,6与10、10与15、6与15都不互质。
互素又称互质,互质是公约数只有1的两个整数。不互素就是存在1以外的公约数。
扩展资料:
互质的判断方法:
1、两个不同的质数一定是互质数。
例如,2与7、13与19。
2、一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数为互质数。
例如,3与10、5与 26。
3、1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数(1本身除外)在一起都是互质数。如1和9908。
4、相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
5、相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
6、较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
7、两个数都是合数(二数差又较大),较小数所有的质因数,都不是较大数的约数,这两个数是互质数。
如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。
8、两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如85和78。85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数。
9、两个数都是合数,较大数除以较小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数,都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如 462与 221
参考资料来源:百度百科-互质
这3个数是:6、10、15。他们的最大公约数是1,符合条件,6与10、10与15、6与15都不互质。
互素又称互质,互质是公约数只有1的两个整数。不互素就是存在1以外的公约数。
找规律的方法:
1、标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
2、斐波那契数列法:每个数都是前两个数的和。
3、等差数列法:每两个数之间的差都相等。
4、跳格子法:可以间隔着看,看隔着的数之间有什么关系,如14,1,12,3,10,5,第奇数项成等差数列,第偶数项也成等差数列,于是接下来应该填8。
两两都不互质,也都是合数,且最大公约数是2.3和5,所以是:6.10.15或12.10.15或18.10.15三组。
6,10,15可以 好的很适合我我不上班社会我不是说
1 2 3 5 7 11 13 17 19 都行
写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都...
a、b、c都是小于20的自然数,(a,b,c)=1,同时(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1。从条件(a,b,c)=1出发,很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数。从条件(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1出发,也很容易发现a、b、c三个数也不能同时在1,2,3,5,7...
3个小于20的自然数,最大因数是1,两两均不互质
关于3个小于20的自然数,最大因数是1,两两均不互质如下 第一组:6、10、15 6、10不互质,有因数2;6、15不互质,有因数3;10、15不互质,有因数5;6=2*3、10=2*5、15=3*5,最大公因数为1。第二组:10、12、15 10、12不互质,有因数2;10、15不互质,有因数5;12、15不互质,有...
写出小于20的三个自然数,使它们的最大公因数是1,但其中任意两个数不...
这3个数是:6、10、15。他们的最大公约数是1,符合条件,6与10、10与15、6与15都不互质。互素又称互质,互质是公约数只有1的两个整数。不互素就是存在1以外的公约数。
已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请...
答:有3组这种可能的答案:6,10,15;12,10,15;18,10,15.
写出3个小于20的自然数使他们的最大公因数是1但两两之间不互质共有几...
例如:6 10 15。6、10不互质,有因数2;6、15不互质,有因数3;10、15不互质,有因数5;6=2*3、10=2*5、15=3*5,最大公因数为1。还有:10 12 15。20以内的就这2组
写出三个小于20的自然数, 使他们的最大公约数是1,但两两均不互质,这样...
三个质数abc.则ab,ac,bc最大公约数是1且两两不互质。质数从小到大是2,3,5,7等。考虑均小于20:6,10,15。一组。
写出三个小于20的自然数,它们的最大公因数是1,但两两均不互质,一共可以...
5和12,10,15及18,10,15三组.
已知3个小于20的自然数,他们的最大公约数是1,且两两均不互质,请写出所...
但每两个数都有大于1的公因数,因此每两数的最大公因数都不同,为2,3,5,7,11...但由于每个数都小于20,且三数至少包含这三个素数的两两积,因此只能分别有2,3,5这三个公因数,包含的积分别为:6,10,15 因此有:6,10,15;12,10,15;18,10.,15;...
写出11到20中的三个合数使它们的最大公约数等于1
解:小于20的3个自然数最大公因数是1,任意两个数都不互质.那么三个自然数都应该是合数 所有合数质因数中只有2、3、5、7组成的合数才符合要求.如2×3=6,2×5=10,3×5=15;或者:2×5=10,2×2×3=12,3×5=15;或者:2×5=10,3×5=15,2×3×3=18.所以有三种:6、10、15;或10...
已知三个连续自然数的和小于20 这样的自然数共有多少组
设这三个数为:X ; X+1; X+2,由已知得:X+X+1+X+2=3X+3<20;3x+3<20 3x<17 x<5.6666……又因为x为自然数,所以x小于等于5都可;所以有(0,1,2)(1,2,3),(2,3,4)(3,4,5);(4,5,6);(5,6,7) 六组数 ...
沈荷清宣: 小于20的3个自然数最大公因数是1,任意两个数都不互质.那么三个自然数都应该是合数.所有合数质因数中只有2、3、5、7组成的合数才符合要求.如2*3=6,2*5=10,3*5=15; 或者:2*5=10,2*2*3=12,3*5=15; 或者:2*5=10,3*5=15,2*3*3=18. 所以有三种:6、10、15;10、12、15或10、15、18希望我的回答对你有帮助,采纳吧O(∩_∩)O!
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质,这三个自然数为______. - ?
沈荷清宣:[答案] 由题意,小于20的三个自然数,他们分解质因数后只能含有质因数2、3、5、7,将它们适当搭配得: 2*3=6,2*5=10,3*5=15; 2*2*3=12,2*5=10,3*5=15; 5*3=15,2*5=10,2*3*3=18; 故答案为:6,10,15;12,10,15;15,10,18.
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质,请问有多少组这种解? - ?
沈荷清宣:[答案] 有三组:6,10,15; 12,10,15; 18,10,15; 答:有3组这种解.
当涂县17378325886: 写出三个小于20的自然数,使它们的最大公约数是1,但它们两两均不互质,这样的数共有几组?分成哪几组 ,每组都是什么 - ?
沈荷清宣:[答案] 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但两两不互质,请问有多少组这种解?急——————————! - ?
沈荷清宣:[答案] 小于20的3个自然数最大公因数是1,任意两个数都不互质.那么三个自然数都应该是合数.所有合数质因数中只有2、3、5、7组成的合数才符合要求.如2*3=6,2*5=10,3*5=15; 或者:2*5=10,2*2*3=12,3*5=15; 或者:2*5...
当涂县17378325886: 一道数学题写出小于20的3个自然数,使他们的最大公因数就是一,但两两均不互质.你能写出几种? - ?
沈荷清宣:[答案] 最大公因数是1,说明他们三者之间不存在共有的素因子.而两两之间不互质,又说明两两之间存在共有的素因子.假设要求的3个自然数分别是A,B,C.其中:x = A,B的最大公约数y = B,C的最大公约数z = C,A的最大公约数任选两个,...
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使它们的最大 公因数是一,但其中任意两数的最大公因数不是一? - ?
沈荷清宣: 以下三个数:6,15,10;请采纳
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使它们的最大公因数是1,但其中任意两数的最大公因数不是1. - ?
沈荷清宣: 这3个数是:6、10、15.他们的最大公约数是1 符合条件:6与10、10与15、6与15都不互质 所以,这三个自然数是:6、10、15
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使他们的最大公约数是1,但其中任两数都不互质 - ?
沈荷清宣: 有三组:6,10,15;2,10,15;18,10,15;答:有3组这种解.
当涂县17378325886: 写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质. - ?
沈荷清宣: 3 8 4 9 5 12 6 11(13)(19)==