一题多解题集

一题多解题集~

例3 求1+3+5+7+…+89=?
运用高斯算法，能够很容易地得出该题的结论，但这仅仅是就一般的计算而言。对问题的进一步研究，又使我们得到以下两种运算方式：

第一种
1=1×1
1+3=2×2
1+3+5=3×3
………………
1+3+5+…+89=45×45

第二种
由于 1=1×1×1
3+5=2×2×2
7+9+11=3×3×3
………………
73+75+…+89=9×9×9

所以，1+3+5+…+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+9×9×9=13+23+33+…+93。

当然，我们可以将上述运算作一般性的推广，使学生的解题思路更加开阔。然而，其真正的用意却在于：

第一种运算中，等式右边的1×1、2×2、3×3、……、45×45，是来自对平面图形--正方形的直接观察(图三)，1×1、2×2、3×3、……、45×45分别为边长是1、2、3、……、45的正方形的面积，因此，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算边长为45的正方形的面积。

第二种运算中，等式右边的1×1×1、2×2×2、3×3×3、……、9×9×9，则是来自对空间图形--正方体的直接观察(图四)，1×1×1、2×2×2、3×3×3、……9×9×9分别为棱长是1、2、3、……、9的正方体的体积，求1+3+5+7+…+89的和，等同于计算棱长分别为1、2、3、……、9的正方体的体积的。

如果将例3改换一种叙述方式：平面上共有90个点同在一条直线上，它们可以组成多少条不同的线段?则使我们完成了一次由点到线，由线到面，再由面到体的完美思考过程。

因此，本例的题多用不应简单地看成是解决数学问题的策略或方法，其重要意义是向我们揭示了如下的数学思想

一题多解的意思是，一道题一个问题可以有多种的解答方式和方法，不局限于一种解答。人对人或事物的看法不同，对问题的理解，欣赏程度也不同，任何事情都有很多种结果。

1.甲市飞到乙市的航线长1200千米，一架飞机从甲市顺风飞到乙市需2小时30分，从乙市逆风飞到甲市需3小时20分，求飞机的平均速度和风速？

设平均速度是X，风速度是Y
[X+Y]*2。5=1200
[X-Y]*10/3=1200

X=420
Y=60

即平均速度是420千米/时。风速度是60千米/时。

2.一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天比第二天少走2千米，求第一天与第二天行军的平均速度各是多少？
设第一天的速度是X，第二天的速度是Y
4X+5Y=98
4X+2=5Y

X=12
Y=10

即第一天的速度是12千米/时第二天的速度是10千米/时

3.从甲地到乙地有路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分，从乙地到甲地需42分，从甲地到乙地的全程是多少？

设上坡x千米，平路y千米，则
X/3+Y/4=54/60
X/5+Y/4=42/60
解上方程组，得
X=1.5
Y=1.6
X+Y=1.5+1.6=3.1
答:从甲地到乙地全程是3.1千米.

这些题目都可以用算术的方法解,所以只要是有关于方程的应用题,一般都有两种解法.再比如,鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚88只。问：鸡.兔各有几只?
由于将鸡换成兔，兔换成鸡后，脚的只数减少了100—88＝12（只），而一只兔换成鸡脚要减少2只，一只鸡换成兔脚要增加2只，总的脚数减少了，说明原来的兔比鸡多.多多少呢？而实际上a只兔子比a只鸡多的脚就是100－88＝12（只）.因为一只兔子比一只鸡多2只脚，所以 a＝12÷2＝6（只）. 也说是说兔比鸡要多6只.现在问题成了：“鸡兔共有脚100只，兔比鸡多6只，求鸡兔各有多少只.”
解 因鸡换成兔，兔换成鸡后，脚数减少
100－88＝12（只），
所以原来的兔比鸡多，多
12÷（4－2）＝6（只）.
这4只兔子共有6×4＝24只脚.
因此相等的鸡和兔共有脚100－24＝76（只）.
由于一只鸡加一只兔共有6只脚，所以鸡的数目为
76÷6＝38/3（只）.
兔子数为38/3＋6＝56/3（只）.

方程解法:
设鸡为X只,兔为Y只,则有方程式:
2X+4Y=100
2Y+4X=88
解得,X=38/3
Y=56/3
工人1小时加工6个机器,要加工72个机器用几个小时?
解1:72÷6=12
解2:72÷6=x
x=72÷6
x=12

1.甲市飞到乙市的航线长1200千米，一架飞机从甲市顺风飞到乙市需2小时30分，从乙市逆风飞到甲市需3小时20分，求飞机的平均速度和风速？

设平均速度是X，风速度是Y
[X+Y]*2。5=1200
[X-Y]*10/3=1200

X=420
Y=60

即平均速度是420千米/时。风速度是60千米/时。

2.一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天比第二天少走2千米，求第一天与第二天行军的平均速度各是多少？
设第一天的速度是X，第二天的速度是Y
4X+5Y=98
4X+2=5Y

X=12
Y=10

即第一天的速度是12千米/时第二天的速度是10千米/时

3.从甲地到乙地有路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分，从乙地到甲地需42分，从甲地到乙地的全程是多少？

设上坡x千米，平路y千米，则
X/3+Y/4=54/60
X/5+Y/4=42/60
解上方程组，得
X=1.5
Y=1.6
X+Y=1.5+1.6=3.1
答:从甲地到乙地全程是3.1千米.

这些题目都可以用算术的方法解,所以只要是有关于方程的应用题,一般都有两种解法.再比如,鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚88只。问：鸡.兔各有几只?
由于将鸡换成兔，兔换成鸡后，脚的只数减少了100—88＝12（只），而一只兔换成鸡脚要减少2只，一只鸡换成兔脚要增加2只，总的脚数减少了，说明原来的兔比鸡多.多多少呢？而实际上a只兔子比a只鸡多的脚就是100－88＝12（只）.因为一只兔子比一只鸡多2只脚，所以 a＝12÷2＝6（只）. 也说是说兔比鸡要多6只.现在问题成了：“鸡兔共有脚100只，兔比鸡多6只，求鸡兔各有多少只.”
解 因鸡换成兔，兔换成鸡后，脚数减少
100－88＝12（只），
所以原来的兔比鸡多，多
12÷（4－2）＝6（只）.
这4只兔子共有6×4＝24只脚.
因此相等的鸡和兔共有脚100－24＝76（只）.
由于一只鸡加一只兔共有6只脚，所以鸡的数目为
76÷6＝38/3（只）.
兔子数为38/3＋6＝56/3（只）.

方程解法:
设鸡为X只,兔为Y只,则有方程式:
2X+4Y=100
2Y+4X=88
解得,X=38/3
Y=56/3

自己想想不就完了，随便一道题，你可以多想几种方法的！

把圆的对称轴画出来，有无数个解！！！！！！！！！！！！！呵呵！！！！

难

甲市飞到乙市的航线长1200千米，一架飞机从甲市顺风飞到乙市需2小时30分，从乙市逆风飞到甲市需3小时20分，求飞机的平均速度和风速？

工人1小时加工6个机器,要加工72个机器用几个小时?
解1:72÷6=12
解2:72÷6=x
x=72÷6
x=12

1.甲市飞到乙市的航线长1200千米，一架飞机从甲市顺风飞到乙市需2小时30分，从乙市逆风飞到甲市需3小时20分，求飞机的平均速度和风速？

设平均速度是X，风速度是Y
[X+Y]*2。5=1200
[X-Y]*10/3=1200

X=420
Y=60

即平均速度是420千米/时。风速度是60千米/时。

2.一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天比第二天少走2千米，求第一天与第二天行军的平均速度各是多少？
设第一天的速度是X，第二天的速度是Y
4X+5Y=98
4X+2=5Y

X=12
Y=10

即第一天的速度是12千米/时第二天的速度是10千米/时

3.从甲地到乙地有路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分，从乙地到甲地需42分，从甲地到乙地的全程是多少？

设上坡x千米，平路y千米，则
X/3+Y/4=54/60
X/5+Y/4=42/60
解上方程组，得
X=1.5
Y=1.6
X+Y=1.5+1.6=3.1
答:从甲地到乙地全程是3.1千米.

这些题目都可以用算术的方法解,所以只要是有关于方程的应用题,一般都有两种解法.再比如,鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚88只。问：鸡.兔各有几只?
由于将鸡换成兔，兔换成鸡后，脚的只数减少了100—88＝12（只），而一只兔换成鸡脚要减少2只，一只鸡换成兔脚要增加2只，总的脚数减少了，说明原来的兔比鸡多.多多少呢？而实际上a只兔子比a只鸡多的脚就是100－88＝12（只）.因为一只兔子比一只鸡多2只脚，所以 a＝12÷2＝6（只）. 也说是说兔比鸡要多6只.现在问题成了：“鸡兔共有脚100只，兔比鸡多6只，求鸡兔各有多少只.”
解 因鸡换成兔，兔换成鸡后，脚数减少
100－88＝12（只），
所以原来的兔比鸡多，多
12÷（4－2）＝6（只）.
这4只兔子共有6×4＝24只脚.
因此相等的鸡和兔共有脚100－24＝76（只）.
由于一只鸡加一只兔共有6只脚，所以鸡的数目为
76÷6＝38/3（只）.
兔子数为38/3＋6＝56/3（只）.

方程解法:
设鸡为X只,兔为Y只,则有方程式:
2X+4Y=100
2Y+4X=88
解得,X=38/3
Y=56/3

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