计算锥面z=根号下（x^2+y^2）被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积

计算锥面z=根号下（x^2+y^2）被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积~

方法一 对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy =∫∫D √[1+1] rdrdθ =√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π 方法二：详见下图

先画草图，再求积分就行，答案如图所示

对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy

锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)

化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ

锥面方程为：z=r；

柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy=∫∫D √[1+1] rdrdθ=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π

扩展资料：

以原点为顶点的锥面方程是关于  的齐次方程，反之，一个含  的齐次方程  的图形总是顶点位于原点的锥面。

事实上，设  是曲面  上的一点(但不是原点)。即  ，则直线OP上的任意一点M的坐标为

一定也适合方程  ，因为这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面  上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。

一直母线沿着曲导线运动，且始终通过定点(导点)时，所得曲面称为锥面。与柱面相似，锥面是以垂直于轴线的正截面与锥面的交线形状来命名的。若交线的形状为圆，称为圆锥面；若为椭圆，称为椭圆锥面。

若椭圆锥面的轴线与锥底面倾斜时，称为斜椭圆锥面。斜椭圆锥面的正面投影是一个三角形，它与正圆锥面的正面投影的主要区别在于：此三角形不是等腰三角形，三角形内有两条点划线，其中一条与锥顶角平分线重合，是锥面轴线，另一条是圆心连线。

斜椭圆锥面的水平投影是一个反映底圆(导线)实形的圆以及与该圆相切的两转向轮廓线。斜椭圆锥面的侧面投影是一个等腰三角形。

对于锥面，有两种画法：

①在其反映轴线实长的视图中画若干条有疏密之分的直素线，在反映锥底圆弧实形的视图中则画若干条均匀的直素线；

②在锥面的各视图巾均画出若干条示坡线。注意锥面示坡线方向应指向锥顶。

参考资料：百度百科——锥面

方法一
对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D
dA=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D
√[1+1]
rdrdθ
=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π
方法二：详见下图

不需要那样做
由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为dxy:(x-1)^2+y^2≤1
dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2)
√(（dz/dx）^2+（dz/dy）^2+1)=√2=>ds=√2dσxy
∫∫(∑)ds=∫∫(dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π

先画草图，再求积分就行

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芷江侗族自治县17223222592： 高数立体几何求圆锥面z=根号下(x^2+y^2)与平面2z - y=3所围成的立体的表面积 - ？
剧砖至灵：[答案] 如果用二重积分来做可能比较麻烦,实在不想细写. 给一个偷懒的办法,可以根据面积投影的办法做,原理公式: S投影面... 首先计算在xoy上的投影面形状,联立方程,消去z,得到投影面方程为: (y+3)/2 = √(x^2+y^2) ===> x^2/3 +(y-1)^2/4 =1 为...

芷江侗族自治县17223222592： 一道高数题的其中一个步骤求解求锥面Z=根号下(x^2+y^2)与半球面z=根号下(1 - x^2 - y^2)所围成的立体体积.其中有一个步骤是:v=∫∫D根号下(1 - x^2 - y^... - ？
剧砖至灵：[答案] 这个是因为所求的积分是曲面和Oxy面围成的体积,求两曲面围成的体积当然是大的减小的啦

芷江侗族自治县17223222592： 一道高数几何题求锥面z=根号下(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所割下部分曲面的面积 - ？
剧砖至灵：[答案] 答案详见图片:

芷江侗族自治县17223222592： 求锥面z=根号下x^2+y^2、圆柱面x^2+y^2=1及平面z=0所围立体体积.求解,高等数学 - ？
剧砖至灵：[答案] V =∫dt∫r*rdr =2π/3.

芷江侗族自治县17223222592： 求锥面z=根号下x^2+y^2、圆柱面x^2+y^2=1及平面z=0所围立体体积.求解,高等数学 - ？
剧砖至灵： V =∫<0,2π>dt∫<0,1>r*rdr =2π/3.

芷江侗族自治县17223222592： 求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影. - ？
剧砖至灵： 要求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影 可以分开求锥面z=√ (x^2+y^2)在xoz面的投影,和柱面z^2=2x在xoz面的投影,这两个投影重叠部分即为锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影. 做出图形,令y=0,可...

芷江侗族自治县17223222592： 计算圆锥z=根号下x^2+y^2与球面z=根号下4a^2 - x^2 - y^2所围成的立体的体积 - ？
剧砖至灵： 消去 z 得交线 x²+y²=2a²,V= ∫(0→2π) dθ∫(0→√2 a) [√(4a² - r²) - r]rdr =2π[ -1/2 (4a² - r²)^(3/2) - 1/3 r³] | (0→√2 a) =2(4 - 5√2/3)πa³ .

芷江侗族自治县17223222592： 高数问题求教求锥面z=根号(x^2+y^2)被抛物面z^2=2ax(a>0)所截下曲面的质心坐标.(解答上说该曲面的投影区域Dxy={(x,y)|(x - a)^2+y^2 - ？
剧砖至灵：[答案] 答: 所截曲面可以这样求: z1=z2,所以√(x²+y²)=√(2ax) 即:x²+y²=2ax 即:(x-a)²+y²=a² 所以投影区域就是(x-a)²+y²

芷江侗族自治县17223222592： 曲面Z=根号下x^2+y^2是什么 - ？
剧砖至灵：[答案]你说的题目,属于【对顶圆锥的一半】.------也就是圆锥面. 实际上是椭圆锥面(a=1,b=1)d的特例.参见上图.

芷江侗族自治县17223222592： “求锥体 z=根号下(x^2+y^2) 被柱面 z^2=2*x 所割下部分的曲面面积”. - ？
剧砖至灵：[答案] 由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为Dxy:(x-1)^2+y^2≤1 dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2) √((dz/dx)^2+(dz/dy)^2+1)=√2=>dS=√2dσxy ∫∫(∑)dS=∫∫(Dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π