怎样培养学生运用转化策略解决数学问题

如何培养学生应用画图策略解决数学问题~

一、培养学生画图策略的必要性
在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。因此，人们在解决问题时喜欢使用画图策略。为什么需要画图?怎样让学生学会画图?不是把现成的图画好展现给学生看，也不是直接告诉他们怎样画，而是让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。贯穿在学习过程始终的应该是——引导学生走上数学思维之旅。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力、思维能力的高低。所以在解决问题的教学过程中，注意培养学生运用画图策略分析解决问题的能力是非常必要的。
二、对于如何在教学中培养学生的画图策略的一点拙见
1. 帮助学生不断体会画图策略的价值和作用
对于画图策略的体会，应从低到高逐步渗透。初始阶段低年级孩子对抽象的数量关系的理解存在着一定困难。如果适时的让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以帮助学生分析理解抽象的数量关系，从而找到解决问题的方法。因此在低年级教学中教师就应有意识的教给学生借助图来分析理解数量关系。
例如：比多少应用题一直是学生学习的一个难点，学生对谁和谁比，谁多谁少，总是分不清，造成见多就加，见少就减的错误逻辑。如果从一开始教学时，教师就教给学生借助画图来分析数量关系（当然这时的图应以实物图为主），教学效果就会大大提高。
2. 鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题
在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，而且那时的线段图在画法上也有明确的要求，如：单位“1”要标在图的上面，画图必须准确，要用直尺等，可以说传统的教学更多的是把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。在这个过程中要遵循这样一个原则，即能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。学生也正是在教师的不断鼓励和尊重中大胆的提出自己的不同见解，运用更多的图来帮助自己分析和解决问题。
3. 抓住培养学生画图策略的重要内容
教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下功夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移，这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。例如，比多少、倍的认识、有余数除法、行程问题、分百应用题，以及搭配、鸡兔同笼、植树等一些特殊问题都是培养学生画图策略的重要内容。
4. 重视对解题策略的指导，将“隐性”的策略“显性化”
在以往的应用题教学中教师更多地注重知识教学和问题本身的解决，而不重视对解题策略的总结和归纳，教学中要重视对学生解决问题策略的指导，将“隐性”的解决问题的策略“显性化”。这样有助于学生体会到策略在解决问题中的价值，提高学生解决问题的能力。例如，在具体求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些解决问题的策略;在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整解决问题的策略;在解决问题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织交流。在适当时候，教师可以总结一些解决问题的策略，让学生收集使用这些策略的典型实例。总之，教师要将解决问题的策略作为重要的目标，有意识地加以指导和教学。
在实际教学中，要帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，促进学生体验出画图策略的作用。可以这样指导：
a、读题：要求学生熟读题目，明确题目中的条件和问题;
b、画图：启发学生根据题里的条件和问题，画出相应的图形;
c、显示：直观显示问题的信息，便于学生分析和思考（可在图中标出条件和问题）;
d、分析：在画图后，引导学生借助直观图形进行分析，思考先要求什么，找出解决问题的方法;
e、解答：确定解题过程要先算什么再算什么，自己解决问题，完成解答。
学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。此外，教师在指导学生运用画图策略解决问题的过程中，还应注重不同阶段对画图策略的渗透、总结和整理。如低年级可从实际演示、操作活动中渗透画图策略;中、高年级可从模拟演示、画图示意及抽象的线段图中体现画图策略。整体把握画图策略，系统地进行指导教学。
5. 画图策略与其他策略的联系
“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准》确定的课程目标之一。
学生有着不同的知识背景和思考角度，他们的差异是客观存在的，对同一个问题，由于学生的认知水平和认知风格的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生具有不同个性的体现。教学中，教师应鼓励学生用已有的经验大胆思维，经历数学知识的探索过程，寻求解决问题的途径。画图策略固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，有时需要与其它策略相结合，才能充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。
例如：有这样一道相遇问题的题目：小平和小红同时从A地B地，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到B地，然后立即原路返回，在离B地350米处遇到小红。小红每分钟走多少米 ？为了让学生理解题意，可以让学生进行模拟表演，并记住演示的情况，以便作图解答。模拟表演在同学们的不断的纠正中越来越到位，说明学生对题目里所讲的事的认识也越来越清晰。在此基础上再用线段图将所模拟的情境画下来，这样题目里的数量关系也会一目了然，学生分析起来当然就容易多了。
6. 注重画图策略教学中数学思想的渗透
小学数学基本思想是指：渗透在小学数学知识与方法具有普遍而强有力适应性的本质思想。就其具体内容而言，可以分为转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识的渗透数学思想，从而来培养和发展学生的数学能力。
（1） 数形结合的思想
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
（2） 对应的思想
解答分数应用题采取对应的思想方法是一种极为重要的解题方法。分数应用题的对应关系是指量与率的对应关系。简单的分数应用题、量与率直接对应，在复杂的应用题中，量与率的对应关系是间接的，这种间接的对应关系，有时“量”是隐蔽条件，有时“率”是隐蔽条件，也有时“量”与“率”都是隐蔽条件。因此解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量与率对应的前提下，这是解答较复杂分数应用题的重要环节。而画图策略在帮助我们明确对应关系中发挥了重要的作用。
（3） 转化的思想
转化思想是数学的基本思想之一，我们在小学数学教学中，应当结合具体的教学内容，渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。
有些应用题，按原题的条件，数量关系解答起来比较复杂，如果根据知识之间的内在联系，变换一种方式去思考，恰当地运用直观图形转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，从而打开解题思路，顺利解决问题。例如：条件的转化，单位“1”的转化、行程问题、分数问题与比例应用题之间的转化等等。
在运用画图策略解决问题的过程中，除了渗透上述数学思想方法外，还可以适时渗透假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中渗透和运用这些教学思想方法，不仅可以增强学习的趣味性，调动学生学习的主动性，还可以发展学生思维的灵活性和数学智能，有助于学生数学素养的全面提升。
当然，教师如何整体把握教材中的画图策略，逐步将策略显性化，使学生在解决实际问题的过程中能够自觉地运用画图的策略，还有待于进一步深入研究。但最终，我想应该向大会结束时徐老师总结的那样：只有学生困惑，产生需求，在探索和启发下，自己体验、提炼出解决问题的策略才是根本，才达到学习的内化，才是我们教师的成功！

数学新课标指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。在小学数学中，解决问题的策略有很多，如实际操作、找规律、整理数据、列方程等等，其中画图策略应该是学生解决问题的一种很基本也很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的高低。现在的小学生解决数学问题的能力比较薄弱，解决问题的策略相对单一。其实很多数学问题，通过画画图，在画图的基础上找到具体的量或分率和它们所表示的意思，把抽象、模糊转化为直观、具体，题意和数量关系也就一目了然了。因此注重和利用画图策略来培养学生解决数学问题的能力显得尤为重要。
可现实的学习中，学生对于画图策略的运用存在两种情形，越聪明成绩越好的人在碰到难题时会主动地画画图来帮助理解题意，分析数量关系；而很大一部分学生却是懒得画或者不会画，觉得怕麻烦或无从入手。那么如何在教学中培养学生学会并利用画图策略从而提高解决数学问题的能力呢，我觉得从以下三方面入手。
一、创设情境，体验画图策略的价值性
斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”小学生的数学学习，正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字叙述出现，纯文字的问题在语言表述上比较简洁，桔燥乏味，以至使他们常常读不懂题意。所以根据其年龄特点，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原问题的本来面目，使学生读懂题意、理解题意，拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键，从而提高学生解决问题的能力。所以，在教学中教师要善于创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。
如六上数学广角“鸡兔同笼”：有8个头，26条腿，鸡、兔各多少只？鸡兔同笼是一个让很多学生学习起来感到头疼的问题，但是运用画图策略却非常容
易理解且把问题解决。如：画图时，先引导学生把8个头全画上两只腿了或四只腿，发现少的或者多的那些腿是兔子或者鸡的，然后依次再添上去，学生有了这一发现后，兴趣浓厚，纷纷动手，了了几笔简笔画并通过添腿或减腿就能非常快速地计算出鸡或兔有多少只。然后依托画图法，再理解假设法中求鸡：（8×4－26）÷（4－2）=3（只），为什么除以（4－2）的差就容易多了。我也曾把这道题用画图法叫我读二年级的儿子来做，他居然也非常容易理解，而且很感兴趣，画得得心应手，并且很快地解答出来。画了几次以后，他居然也能感悟出通过算式来计算了。

“转化”是研究和解决数学问题的一种有效的思考方法，根据学生已有的生活经验和知识，运用事物和事物之间互相联系，把未知变为已知，把复杂变为简单的思维方法。《新数学课程标准》中指出:数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。就解题的本质而言，解题既意味着“转化”，因此学生学会数学“转化”策略，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移。因此，我们在小学数学教学中，应当结合具体的教学内容，渗透数学“转化”思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。
“转化”是解决问题时经常采用的方法，“转化”的手段和方法是多样而灵活的，既与实际问题的内容和特点有关，也与学生的认知结构有关，掌握“转化”策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。教学中不应只以学生能够解决教材里的各个问题为目的，而在于学生对“转化”策略的体验与主动应用。具有初步的“转化”意识和能力，对以后的学习与解决问题将会产生十分积极的作用。
二、转化的学习基础
(一)知识基础--策略学习的基石
万丈高楼平地起，转化策略的运用同样如此。“转化”就是把新问题变成旧问题，把复杂的问题变成简单的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。其实，运用什么方法转化，转化后的问题又怎么解决，这都需要一定的知识基础，否则问题也不能得到解决。可见，一定的知识基础是“转化”策略学习的基石。
(二)能力基础--策略学习的有力杠杆
策略的学习不仅需要一定的知识基础，也需要一定的能力基础。心理学研究表明:能力是人们获取知识、掌握技能的基本条件，完成任何一种活动都需要多种能力的结合。因此，学生已具备的能力基础可以说是策略学习的有力杠杆。
1.观察、想象、操作能力:
学习几何形体离不开敏锐的观察力和空间想象力，以及在此基础上进行动手操作的能力。
2.迁移、推理能力:由于“转化”是把一类问题转化成另一类问题，因此无论从转化的视角，还是从推广应用的视角，学生都应具有迁移、推理的能力。所以，教学“转化”策略时，要引导学生正确推理，实现转化，切实解决问题。当然更应由例题的学习，进而能解决类似的更多实际问题。
3.求异、创新能力:人人具有求异的思想，人人具有创新的冲动。事实上，转化也是一种重要的策略，但在真正解决问题时，还需要确定具体的转化目标和方法。
4.收集、处理信息的能力:现代社会是信息社会，收集、处理信息的能力是一个人必备的学习能力，也是衡量一个人能力高低的重要标准。因而，它也是学生学习转化策略的重要能力基础。
三、转化策略
1、运用类比联想，实现转化
类比方法是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面的相同或类似之处，推出它们在其他方面也可能相同或类似的一种推理方法。因此，在学习新知识时，适时运用类比方法进行转化，可使生疏的问题转化为熟悉的问题，有利于学生更好地接受新知识，巩固旧知识。
2、运用数形结合思想，实现转化
数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过做一些线段图、 数形图 、长方形面积图 、集合体等来帮助学生正确理解数量关系，使问题内容具体化、形象化，从而把复杂问题转化为简单问题的一种数学思想方法。
3、运用替换思想，实现转化
替换思想是数学教学的重要思维方法，替换的实质是改变题目的形式，但却不改变题目的本质。当我们遇到题意比较难懂的习题时，可以把题中的某些条件或问题替换成与其内容等价的另一种形式，从而实现解题思路的顺利转化，以达到解题的目的。
4、运用假设法，实现转化
在小学数学中，学生对思考性较强的问题常常感到难以解决。因此，教师在教学过程中要注意教给学生解决问题的方法，以提高他们的思维能力。而假设方法往往在解决问题的过程中起关键性的作用。假设法就是把抽象性的问题转化为比较具体的问题，使其中的数量关系更加明确，更易于把握解题的路径。
5、运用已有知识，实现转化
生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此作为教师，应深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度利用学过知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半功倍的效果。
6、运用合理设置问题，实现转化
教师通过合理设置问题，将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务。例如，针对某一概念，可围绕下面几个角度设置问题:概念的构成;概念所涉及的子概念;概念的外延;概念的内涵;概念的确定与否定;概念之间的关系;概念的应用以及由概念而设计的一些构造性问题等等。问题与问题之间要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。
复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。

一、抓住新旧知识的内在联系，迁移转化
实际教学中我们可以把学生感到陌生的问题迁移转化为比较熟悉的问题，并利用已有的知识经验和储备加以解决，促使学生快速、高效地学习新知。
如在《小数乘小数》教学中，教学的基准点就可以定位在让学生把“把小数乘小数”转化为“整数乘整数”，利用知识的迁移作用帮助学生掌握“小数乘小数”的笔算乘法，不仅使学生理解了算理感受了算法，同时也感受了“转化”思想对于解决新问题的作用。转化的思想始终层层渗透于数的运算教学中，并时刻与新旧知识相交融。
在实际教学中，教师应从学生的已有知识经验出发，把学生感到陌生的新问题转化成比较熟悉的旧知识，并利用已有的知识经验加以解决新问题，促使学生快速、高效地构建新知。
二、突出两种量的潜在规律，归一转化
所谓归一转化也就是将两种量转化为一种量，可以根据题目中的条件将两种有潜在规律的量转化为一种量，也可以是利用假设的方法将这两种量转化为一种量。当我们遇到题意比较难懂的习题时，可以把题中的某些条件或问题转化成与其内容等价的另一种形式，从而实现解题思路的顺利转化，以达到解题的目的。
替换法。“鸡兔同笼”等问题，用“替换法”做就很简单;变换法。数学教学中经常要涉及到数量关系，而在把数量实行转化时，我们往往可以变动一下相关词语，把句中的“倍数关系”转化成“相差关系”，这样理解题意就变得容易多了;化归法。所谓化归转化就是把在同一个问题中不同单位的几个数量化归成一个标准下的数量，这样学生就能化复杂为简单，解决起问题更加得心应手。
三、优化解决问题的条件，化繁为简
在处理和解决数学问题时，我们常常会遇到数量关系比较复杂的情况出现，这时教师不妨转化一下解题策略，把问题中不相等的量转化成相等的量，化繁为简，从而收到事半功倍的效果。
如“有黑白棋子一堆，其中黑子的个数是白子的两倍，如果从这堆棋子中每次同时取出四个黑棋子和三个白棋子，那么取几次后白棋子刚好取完，而黑棋子还剩18个，问原来黑白棋子各多少个?”我们可以换一种解题思路，把“黑子的个数是白子的两倍”这个条件转化为如果每次取六个黑棋子，三个白棋子，这样取若干次后刚好取完。学生有效地整理、优化问题中的已知条件，让复杂凌乱的条件渐渐地清晰明了起来，从而顺利地得出黑、白棋子的个数。
四、突破学生的思维障碍，化数为形
教学实践证明，转化的策略有利于各类问题的解决，更有利于学生思维的发展。在小学数学教学中，教师应当结合具体的教学内容，有针对性地渗透数学“转化”思想，运用“转化”策略，有意识地培养学生学会用“转化”策略解决问题，从而提高学生解决问题的能力，增强学生的数学应用意识，为学生的后继学习和未来发展乃至终生发展奠定坚实的基础。

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