X—sinX为什么是三阶无穷小呢？

当x趋向于0时,x-sinx是几阶无穷小?~

具体回答如下：
lim{x->0} (x-sinx)/x^k
=lim{x->0} (1-cosx)/(k*x^(k-1))
=lim{x->0} sinx/(k(k-1)*x^(k-2))
当且仅当k=3时极限存在且非0。
sinx=x-x^3/6+o(x^4)
显然有x-sinx是3阶无穷小。
极限的性质：
和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

释义如下：
1)“无穷小的阶”是一个相对的概念，是两个无穷小的比较.
2)习惯上称【x-a是在x→a时的基本无穷小】。
2-2）【1/x是在x→∞时的基本无穷小】3)在x→a时，应该理解为“对于基本无穷小x-a而言”。4)有比任意有确定阶的无穷小更高阶的无穷小量函数

因为它的导数是1-cosx，这个函数与x^2同阶，所以x-sinx就是三阶无穷小。

1、x-sinx的等价无穷小是x^3/6,这时有一个基本概念【如果f(x)的n-1阶导数仍可导，则称为f(x)的n阶导数】，3-1=2仍然可以导，所以x-sinx为三阶导数。
2、上面的等价无穷小是函数能代换时，简单判断的快速方法，如果想一步一步的计算判断的话可以采用泰勒公式，将sinx展开相减也能得到相同的结论。
3、另外想到x+sinx为一阶的原因，是因为sinx由泰勒公式展开，但前面的x没有被抵消，是因为低阶吸收高阶的缘故（x→0），x+sinx为一阶。
以上皆为个人的想法，其中有不对之处，还请见谅和指出，我也及时纠正不对。

泰勒级数展开！sinx=x-x^3/3！+o(x^3)
所以
x-sinx=x^3/3！+o(x^3)
就是三阶无穷小啦！

你可以这样想，你看sinx的泰勒公式，
只看展开式的前两项：sinx=x-x*3/6+o（x*3）
所以：x-sinx在x->0时等价于x*3/6
上面是三阶下面是二阶，趋近于0的时候为0
我是这样理解的，若有不对欢迎指正。

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花溪区15362394259： 为什么x sinx tanx arcsinx arctanx 任两者相减为3阶无穷小请详细的说明,要让我看泰勒公式的我看不懂. - ？
稻洋冠心：[答案] 正弦、正切、反正弦和反正切都可以写成x加或减一个ax^3,再加或减比三阶更高阶的无穷小,任意两个相减都得到ax^3加或减比三阶更高阶的无穷小0(x^3),o(x^3)可以忽略.即x-sinx是x的三阶无穷小,其他几个都和这个类似

花溪区15362394259： x和sinx+之差是三阶无穷小是什么意思?并没有指明是什么的三阶无穷小?？
稻洋冠心： 说得不明确.正确说法如下:当x是无穷小时,x-sinx是x的三阶无穷小;x-sinx与x³是同阶无穷小.

花溪区15362394259： 什么是三阶无穷小 - ？
稻洋冠心： 三阶无穷小的定义如下: x-->0; x是一阶无穷小; x^2是二阶无穷小; 则x^3是三阶无穷小. 无穷小 就是以数零为极限的变量.确切地说,当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.例如,f(x)=(x-1)^2是当x→1时的无穷小量,f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量(注意:特别小的数和无穷小量不同).

花溪区15362394259： 当x→0时3√x sinx是x的几阶无穷小 - ？
稻洋冠心： x趋于0的时候,sinx是x的等价无穷小,而x的立方根是其1/3阶无穷小 所以显然得到的 就是x的4/3阶无穷小

花溪区15362394259： 无穷小的阶 - ？
稻洋冠心： 释义如下: 1)“无穷小的阶”是一个相对的概念,是两个无穷小的比较. 2)习惯上称【x-a是在x→a时的基本无穷小】. 2-2)【1/x是在x→∞时的基本无穷小】3)在x→a时,应该理解为“对于基本无穷小x-a而言”.4)有比任意有确定阶的无穷小更高阶的无穷小量函数

花溪区15362394259： 当x趋向于0时,x - sinx所表示的无穷小量是x的几阶无穷小? - ？
稻洋冠心： 如果知道L'Hospital法则就好办 lim{x->0} (x-sinx)/x^k =lim{x->0} (1-cosx)/(k*x^(k-1)) =lim{x->0} sinx/(k(k-1)*x^(k-2)) 当且仅当k=3时极限存在且非0.如果知道Taylor公式也好办 sinx=x-x^3/6+o(x^4) 显然有x-sinx是3阶无穷小.

花溪区15362394259： 当x→0时,f(x)=e^x - 1 - x - 0.5xsinx是x的几阶无穷小答案是三阶. - ？
稻洋冠心：[答案] e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)sinx = x - x³/6 + o(x³)f(x) = x²/2 + x³/6 - 0.5x(x - x³/6) + o(x³)= x³/6 + o(x³)所以是三阶无穷小

花溪区15362394259： x - >0时sinx的立方和x是几阶无穷小? - ？
稻洋冠心： sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... 所以x趋于0,sinx~x 则 sinx³~x³ 所以是三阶无穷小

花溪区15362394259： 极限问题x^2+sinx 当x趋近于0时为什么是无穷小. - ？
稻洋冠心： 要考察是否等价的最佳办法,就是取这两个数的比的极限(x^2+sinx)/x=x+sinx/x 在x->0时候的极限 x->0,sinx/x=1 所以极限是1,那么两者等价 希望你明白这个一般的做法(⊙o⊙)哦

花溪区15362394259： 当x趋于0时,x - sinx是x的;当x趋于1时,(1 - x)/(1+x)是1 - 三次根号x的什么无穷小 - ？
稻洋冠心： 解答如下: 当X趋于0时,(x-sinx)/ x 的极限=0 ,所以,x-sinx 是 x的高阶无穷小 当x趋于1时,(1-x)/(1+x)是(1-3次根号x)的低阶无穷小.