如图，圆O是△ABC是外接圆，BC为圆O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上。求证：

（2013?西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E~

（1）证明：连接OA，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵点A在圆上，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵CE⊥AD，∴∠CED=∠OAD=90°，∴CE∥OA，∴△CED∽△OAD，∴CDOD＝CEOA，CE=2，设CD=x，则OD=x+8，即xx+8＝28，解得x=83，经检验x=83是原分式方程的解，所以CD=83．

解答：证明：连结OA，如图，∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC，∴∠B+∠OAC=90°，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴直线AD是⊙O的切线．

1，证明：连接OA
∵OA=OB（同圆半径相等）
∴∠BAO=∠B（三角形中，等边对应的角相等）
∵∠CAD=∠B（已知）
∴∠BAO=∠CAD
∵BC为直径（已知）
∴∠BAO+∠OAC=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴∠CAD +∠OAC=90°
∴AD是圆的切线（过半径外端，且垂直于半径的直线是圆的切线）
2，已知sin∠ACD=√2/4，R=8
解：
a，sin∠ACB=sin(180°-∠ACD)=sin∠ACD=√2/4＜√2/2=sin45°
则：∠ACB＜45°（sina在第一象限是增函数）
所以：A点靠近B点，即过A的切线和BC的交点在圆左侧！
b，在⊿ABC中，cos∠ACB=√(1- sin∠²ACB)=√14/4
BC=2R=16，AB=BC sin∠ACB=4√2，AC=BC cos∠ACB=4√14
c，延长CB与切线交于E点，
因为：∠EAB=∠ACB（弦切角等于它所对的圆周角），∠E为公用角
所以：⊿AEB∽⊿CEA（两角对应相等，两三角形相似）
AB/AC=AE/CE=BE/AE=1/√7
AE=√7BE
AE/CE=√7BE/CE=√7BE/(BE+BC)=√7BE/(BE+16)= 1/√7
解方程得：BE=8/3
结论：当sin∠ACD=√2/4时，过A点的切线于圆在圆的左侧欲CB相交，设交点为E，则BE长为8/3
……
开始求CD长，发现CD为负值，经研究发现当A点的切线与CB交于左侧，所以：不存在D点（它的对应点为E）更无法求CD的长。只好求了BE的长。
假如你认为E就是D点，则，CD(CE)=BE+BC=16+8/3

连接OA作辅助线，AD为切线 所以∠OAD为直角 BC为圆直径 所以∠BAC也为直角
∠OAD=∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=∠BAC 即∠CAD=∠BAO
又因OB=OA 所以∠OBA=∠BAO=∠CAD
sin∠OBA=sin∠CAD=根号2/4 cos∠OBA=根号14/4
cos∠AOC=cos2∠OBA=cos∠OBA平方-sin∠OBA平方=根号3/2=OA/OD
OA=OC=8 OD=16/根号3 CD=OD-OC=16/根号3-8

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西和县15068116101： 如图,圆O是三角形ABC的外接圆,BC为圆O的直径,作角CAD=角B,且点D在BC的延长线上.求证:AD是圆O的切线 - ？
董逸盐酸：[答案] 证明:连结OA, ∵BC为⊙O直径, ∴∠BAC=90°,即∠BAO+∠CAO=90°, ∵OA=OB, ∴∠B=∠BAO, 而∠CAD=∠B, ∴∠BAO=∠CAD, ∴∠CAD+∠CAO=90°,即∠OAD=90°, ∴OA⊥AD, ∴直线AD是⊙O的切线; 请点击采纳为答案 记得采纳啊

西和县15068116101： 如图,圆o是三角形abc的外接圆,bc=4cm,角a=30,求圆o的面积,两种不同的方法 - ？
董逸盐酸： 方法一:这B作直径BD,连接CD,则∠DCB=90°,∠D=∠A=30°,∴直径BD=2BC=8㎝,∴半径=1/2BD=4㎝,∴S⊙O=π*4^2=16π平方厘米.方法二:连接OB、OC,则∠BOC=2∠A=60°,∵OB=OC,∴ΔOBC是等边三角形,∴半径OB=BC=4㎝,∴S⊙O=16π平方厘米.

西和县15068116101： 如图,圆O是三角形ABC的外接圆,BC为直径,AD平分角BAC,交圆O于D,点M是三角形ABC的内心1.判断BC与DM的数量关系,并证明;2.若AB等于8,... - ？
董逸盐酸：[答案] 1、∵BC是直径∴∠BAC=90°,∵M是内心,即M是三角形ABC的角平分线的交点连接CM∴CM平分∠ACB,那么∠ACM=∠BCM∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=1/2*90°=45°连接BD、CD,那么BC是直径,∠BDC=90°∴∠DBC=∠...

西和县15068116101： 如图,圆o是△abc的外接圆,bc=4,∠a=30°.连接ob,oc,求∠boc的度数 - ？
董逸盐酸： 已知角a是30度,那角boc就是60度了(圆心角是圆周角的两倍).连接ob,oc后那ob,oc就是圆的半径了,而角boc是60度,那三角形boc就是等边三角形了,也就是ob=oc=cb=4.那圆的面积就是 3.14*4*=50.24

西和县15068116101： 如图,圆o是三角形abc的外接圆,bc为直径,ad平分角bac,交圆o于d,点m是三角形abc的内心. 若ab等于8,ac等于6,求ad的长? - ？
董逸盐酸：[答案] 1、∵∠BAD=∠DAC,∴弧BD=DC,弦BD=DC,又∵BC是直径,∴△BDC是等腰直角三角形,BC=√2*DC.连接MC、在△DMC中,∠BAC=90°,∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+∠ACB/2;∠DMC=∠DAC+∠ACM=45°+∠ACB/2=∠DCM,∴DM=DC...

西和县15068116101： 如图,已知圆O是△ABC的外接圆,BC是圆O的直径,D是劣弧AC的中点,BD交AC于点E (1)求证AD的平方=DE*DB (2) - ？
董逸盐酸： 1、证明:因为D是弧AC的中点,,所以弧AD等于弧DC,所以角DAC=角ABD,又因为角ADB=角ADB,所以三角形ADE∽△BDA,∴AD/BD=DE/AD ∴AD²=BD*DE2、∵BC是直径∴∠BDC=90°由勾股定理得,BD²=BC²-CD²,∴BD=12,又∵D是劣弧AC的中点,∴弧AD等于弧DC,∴AD=DC=5,由1得AD²=BD*DE,所以5²=12*DE,∴DE=25/12

西和县15068116101： 如图,圆O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A作AP∥BC,交BO的延长线于点P.(1)求证:AP是圆O的切线;(2)若圆O的半径R=5,BC=8,求线段AP的长. - ？
董逸盐酸：[答案] 证明:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E, ∵AB=AC, ∴AE平分BC, ∴点O在AE上.(2分) 又∵AP∥BC, ∴AE⊥AP, ∴AP为圆O的切线.(4分) (2)∵BE= 1 2BC=4, ∴OE= OB2−BE2=3, 又∵∠AOP=∠BOE,∠P=∠OBE ∴△OBE∽△OPA,(6...

西和县15068116101： 已知:圆O是三角形ABC的外接圆,且AB=AC,圆O的半径为6cm点O到BC的距离为2cm,求AC的长. - ？
董逸盐酸：[答案] 作BC边上的高AH, ∵AB=AC, ∴外接圆心O在BC边上的高(中线)上, AO就是外接圆半径, AO=6cm ,OH=2cm, (AO+2)(AO-2)=BH^2,(相交弦定理) R^2-4=BH^2, BH=4√2, AH=6+2=8cm, AC^2=8^2+32=96, AC=4√6cm.

西和县15068116101： 如图所示,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=27,AB=BC=3.求BD以及AC的长. - ？
董逸盐酸：[答案] 由切割线定理得:DB•DA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2, DB2+3DB-28=0,得DB=4. ∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA, ∴ BC CA= DB DC, 得AC= BC•DC DB= 37 2.

西和县15068116101： 如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.(1)求证:BC=2DM;(2)若DM=52,AB=8,求OM的长. - ？
董逸盐酸：[答案] (1)证明:连结MC、DC、BD,如图, ∵点M为△ABC的内心, ∴MC平分∠ACB, ∴∠ACM=∠BCM, ∵BC为直径, ∴∠BAC=90°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD= 1 2∠BAC=45°, ∴∠DBC=∠BCD=45°, ∴△BDC为等腰直角三角形, ∴BC...