球的体积公式推导
球的体积公式推导过程:v=4/3×πr^3。
球是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体,也叫做球体。球的表面是一个曲面,这个曲面就叫做球面,球的中心叫做球心。
球体性质:
用一个平面去截一个球,截面是圆面。球的截面有以下性质:
1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:r^2=R^2-d^2。
3、球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆,在球面上,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,把这个弧长叫做两点的球面距离。
两个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,原文是“幂势既同,则积不容异”,在西方被称为卡瓦列利原理。
就好比图中的这三个几何体,与底面等距离处的截面积都相等,这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之,是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。
我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。
学过解析几何的同学都知道,平面直角坐标系分四个象限,立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的,也就是易经中说的四象、八卦的意思。
结合勾股定理以及祖暅原理,可以知道左边的牟合方盖(八分之一)的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积,于是牟合方盖(八分之一)的体体积等于2/3r^3,整个牟合方盖的体积为16/3r^3。
圆台的体积公式是怎么推导出来的
圆台的体积公式推导方法如下:1、我们将圆台分解为许多薄的圆柱体。每个圆柱体的高度为Δh,底面半径为r,顶面半径为R。我们可以将整个圆台分解为n个这样的圆柱体,每个圆柱体的高度为Δh。当我们让Δh趋近于0时,所得到的圆柱体的体积将趋近于圆台的体积。2、考虑其中一个圆柱体,其体积为ΔV。
立体图形的体积计算公式是怎样推导出来的他们之间的有什么联系_百度知 ...
正方体:正方体有6个面,观察这6个面,这6个面是完全相等的,正方形的面积=边长*边长,正方体又有6个面。于是,得出了正方形的表面积公式:正方体的表面积=棱长*棱长*6。长方体:长方体也有6个面,相对的两个面完全相同,于是,将3个不一样的面的面积和*2便得到了长方体的体积公式:长方...
球的体积公式推导过程是什么?
把四个顶点和o点连接,形成一个接近四棱锥体【体积为hL\/3 ,h是四棱锥体的高,L是四棱锥体的底面积】的微小体积dv,当分割的无限细密,ds接近零时候,ds= L,h = R, 并且:hL\/3=dΩR=dv。dv是球的体积元素,对dv环绕一周【角度为4π】积分,就是求的体积公式。∮dΩR\/3=4πR\/3。...
正方体的体积怎么求
正方形的表面积和体积公式:正方体表面积=一个面面积×6=棱长×棱长×6,S=6a²。正方体体积=棱长×棱长×棱长,V=a³。一、正方体的体积推导过程:正方体属于特殊的长方体,也属于长方体。按照长方体体积公式:体积=底面积乘以高,底面积=长乘以宽=棱长乘以棱长,所以再乘以高就是...
如何推导圆柱、圆锥、圆台的体积计算公式?
圆柱侧面积=ch=πdh=2πrh 逆推公式:圆柱的高=圆柱侧面积÷底面周长 =圆柱的侧面积÷π÷d =圆柱的侧面积÷π÷2÷r 圆柱的底面周长=圆柱的侧面积÷高 圆柱的表面积=两个底面面积+侧面面积 =底面面积×2+侧面面积 圆柱的表面积=2πr+2πrh 圆柱的体积 圆柱的体积计算是先将圆柱沿着直径...
球的体积公式是怎样推导出来的?
等高处横截面积常相等的两个立体,其体积也必然相等”这一原理,求出了“牟合方盖”的体积。而球体体积等于π/4乘以“牟合方盖”体积,从而最终算出球体积,这个公式就是著名的“祖暅公理”。4、可知:(1\/2)V球=(2\/3)πr3,最终可得,V球=(4\/3)πr3。球体积的公式便由此推导而来。
圆台体积公式推导过程是什么?
圆台体积公式V=1\/3*π*h(R^2+Rr+r^2)。其实圆台相当于大圆锥切去顶端的小圆锥。圆锥体的体积:V=1\/3*π*h*r^2。假设,圆台底面半径为R,顶面半径为r,台高h,则假设的大圆锥体积V1=1\/3*π*h1*R^2。小圆锥的体积V2=1\/3*π*h2*r^2,明显r:R=h2:h1。则圆台的体积V=1\/3*π...
圆柱体积公式是怎样推导的?
圆柱体积公式的推导:是通过转化的方法推导出来的。先把圆柱体底面平均分成若干偶数个小扇形,再把这些扇形沿着圆柱的高切开,拼起来,得到一个近似的长方体,这样我们就把圆柱体转化成了长方体。这个拼成的长方体的底面面积就是圆柱体的底面积,长方体的高就是圆柱体的高,因为我们知道长方体的体积...
圆球体积的公式
圆球体积的公式的回答如下:圆球体积的公式是V=(4\/3)πr³,其中r是圆的半径,π是圆周率,约等于3.1415926。这个公式可以用来计算圆球的体积,其中r是圆球的半径。圆球体积公式的推导过程如下:首先,考虑一个平面内截取的圆,其面积为πr²。当我们截取这个圆的三个维度时,我们得到了一...
台体体积公式推导过程
台体体积公式推导过程:S上:为台体上表面,S下:为台体下底面,h为高。V台体=1\/3h(S上+√(S下·S上)+S下)。V台体=1\/3h(S上+√(S下·S上)+S下)(√下只包括S下▪S上)。当S上=S下时:V柱=S·h。当S上=0时:柱体积公式推导图V锥=1\/3S·h。都可根据台体体积推...
澄怕克欣:[答案] 楼上的不对挖````高中学的内容啊`````` 将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V=2/3πR^3 .因此一个整球的体...
岑巩县15682735960: 球体的体积是怎么推导出来的? - ?
澄怕克欣:[答案] 1.球的体积公式的推导 基本思想方法: 先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面. (l)第一步:分割. 用一组平行于底面的平面把半球切割成 层. (2)第二步:求近似和. 每层都是近似于圆柱形状的“...
岑巩县15682735960: 球的体积公式是怎么样推导的? - ?
澄怕克欣: 将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V=2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2,则球是它的积分,根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3
岑巩县15682735960: 球的体积公式的推导(详细的)谁能告诉我简单易懂的球体积公式的推导? - ?
澄怕克欣:[答案] 将球的表面分成无数个小面,然后以球心为顶点,连接这些小面,组成无数个近似于圆锥体. 这些圆锥体的底面积的和就是球的表面积,高近似于球的半径. 所以体积和就是:(4πr²)*r/3=4πrrr/3
岑巩县15682735960: 球的体积是怎样推导出来的 - ?
澄怕克欣: 1解:将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V=2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2,则球是它的积分,可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^32解:将球挖个小眼,灌满水,然后将水倒进量杯就算出体积拉!!!
岑巩县15682735960: 如何推导球的体积公式 - ?
澄怕克欣:[答案] 如果还没学过积分的话就用微元法:把球表面切割为大量的小块,这些小快足够小可以看作是平面,记这小块的面积为△S.考察以这块小平面为底,球心为顶点的锥体的体积△V=R△S/3,这是因为平面足够小所以锥体高度等于球半径...
岑巩县15682735960: 球的体积公式推导用二重积分. - ?
澄怕克欣:[答案] 积分区域D为x^2+y^2=a^2,则球的体积可以表示为V=2∫∫√(a^2-x^2-y^2)dxdy,用极坐标计算,V=2∫dθ∫r√(a^2-r^2)dr,r积分限0到a,θ积分限0到2π, ∫r√(a^2-r^2)dr=(-1/2)∫√(a^2-r^2)d(a^2-r^2)=(-1/3)(a^2-r^2)^(3/2)=(1/3)a^3,所以V=(4π/3)a^3.
岑巩县15682735960: 清哪位高人来指点一下球体体积公式的推导过程,谢谢. - ?
澄怕克欣:[答案] 1.球的体积公式的推导 基本思想方法: 先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面. (l)第一步:分割. 用一组平行于底面的平面把半球切割成 层. (2)第二步:求近似和. 每层都是近似于圆柱形状的“...
岑巩县15682735960: 球体体积计算公式如何推出来的? - ?
澄怕克欣:[答案]
岑巩县15682735960: 球的体积公式推导过程方法越多越好, - ?
澄怕克欣:[答案] 将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V=2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3...