全国初中数学竞赛问题。

全国初中数学联赛怎么准备啊~

说来惭愧我得过全国2等奖，但也算有些经验
竞赛能否拿奖不能只开你平时成绩，关键要看你平常是否对难题感兴趣，
我初中时，平常我们班上的学习比我好的同学也没拿到这奖，
你注意下，你平常的难题一般时出在什么地方，比如二次函数，圆，三角函数，这些接近高中教材的题目是最容易出的，特别是圆，三角形，三角函数，二次函数的综合形题目是最后一题中最容易出现的
比较来说，这些题目不是拿分的主要题目，关键是前面的选择和填空题特别容易拿分，而后面的题目主要是拿来拉打差距，所以你在做题时，要先拿稳前面的题，不懂的题目留到最后做
准备嘛，就是买1--2本数学竞赛的资料来做，而且上面是要有例题的那种，多看看上面的解题思路，然后再慢慢的做后面的练习，然后有时间就把后面的题目以竞赛的标准做，给自己规定时间
开始时一定会有做不来的情况，但不要灰心， 就当那是自己的兴趣，积极的去思考，慢慢的你的数学水平就会提高，5个月就足够了
最后希望你能拿到你的全国第一

全国初中数学联赛是由各省、市、自治区联合举办的数学竞赛。
全国初中数学联赛没有官方网站。
全国初中数学联赛考试时长是80分钟。
竞赛题型
全国初中数学联赛每年4月举行，分为一试和二试，成绩公布的时间各省市不尽相同。
第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。
第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题(数论题)，共70分，两试合计共140分。

扩展资料：
竞赛大纲：
1、实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式与恒等变形
恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数
y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
参考资料：百度百科词条--全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联赛第一试试题及参考答案
一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

1.设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为( )

A.5 B.7 C.9 D.11

2.如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为( )

A. B.4 C. D.

3.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( )

A. B. C. D.

4.在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则( )

A.BM＞CN B.BM=CN C.BM＜CN D.BM和CN的大小关系不确定

5.现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为( )

A.()3 B.()4 C.()5 D.

6.已知实数x，y满足(x-)(y-)=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为( )

A.-2008 B.2008 C.-1 D.1

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)

1.设a =，则=_____________.

2.如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为_______________.

3.已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=___________.

4.依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 _________.

答案

一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D

二、1.- 2 2. 3. 4.1

解答：一、1.由题设条件可知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b，

所以a，b是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1.

因此+====7.

2.因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，

于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=.

在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=.

3.能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=.

4.∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC =(180°-12°)=84°.

又∠BCM = 180°-∠ACB=180°-132°=48°，∴∠BCM=180°-84°-48°=48°.

∴BM=BC.又∠ACN=(180°-∠ACB)=(180°-132°)=24°，

∴∠BNC=180°-∠ABC-∠BCN= 180°-12°-(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC.

∴CN=CB.因此，BM=BC=CN.

5.容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a·(1-10%)k ·(1-20%)n-k=a·()k·()n-k，其中k为自然数，且0≤k ≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a·()i·()n-i，a·()i+1·()n-i-1，a·()i+2·()n-i-2，a·()i+3·()n-i-3，a·()i+4·()n-i-4.

其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4.

6.∵(x-)(y-)=2008，

∴x-==y+，y-==x+.

由以上两式可得x=y， 所以(x-)2=2008.解得x2=2008.

所以3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1.

二、1.∵a2=()2==1-a，∴a2+a=1.

∴原式=

===-=-(1+a+a2)=-(1+1)=-2.

2.设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，

∴MB=MO-OB=.又∠ABM=∠NDA=135°，

∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，

所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=·BA=×1=.根据对称性可知，

四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=.

3.根据题意，m，n是一元二次方程x2+ax+b=0的两根，所以m+n=-a，mn=b.

∵|m|+|n|≤1，∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.

∵方程x2+ax+b=0的判别式△=a2-4b≥0，∴b≤=≤.

4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≥1-(m-n)2≥-1，故b≥-，等号当m=-n=时取得；

4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≤1-(m-n)2≤1，故b≤，等号当m=n=时取得.所以p=，q=-，于是|p|+|q|=.

4.12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008-(3+12+66+272+1085)=570个数位.3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1.

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设 ，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .
【答】A.
由 ，得 ，故 .所以
.

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】C.
延长CA至D，使AD＝AB，则 ，所以△CBD∽△DAB，所以 ，故 ，所以 .又因为 ，所以 .

3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
【答】C.
由方程得 ，而 ，所以 ，即 ，解得 ，从而 只可能取值 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，没有符合条件的解；
当 时， ，没有符合条件的解；
当 时， ，解得 ；

当 时， ，解得 .
因此，原方程共有3个解.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】B.
不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：
（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为 ；
（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为 .
所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.
要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.
因此，所求的概率为 .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】 D.
设BC的中点为O，连接OE、CE.
因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.
又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此 ，即 .
又CE⊥BE，所以 ，故 CBE＝ .

6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
【答】B.
设 ，则 ，它为完全平方数，不妨设为 （其中 为正整数），则 .
验证易知，只有当 时，上式才可能成立.对应的 值分别为50，20，10，2.
因此，使得 为完全平方数的 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是____________.
【答】 .
因为 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，所以
解得 .
，
当 时， 取得最小值 .

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为______.
【答】 .
设△ABC的面积为 ,则因为△ADE∽△ABC，所以 .
又因为△BDF∽△BAC，所以 .
两式相加得 ，即 ，解得 .
所以四边形DECF的面积为 .

3．如果实数 满足条件 ， ，则 ______.
【答】 .
因为 ，所以 .由 可得
，从而 ，解得 .
从而 ，因此 ，即 ，整理得 ，解得 （另一根 舍去）.
把 代入 计算可得 ，所以 .

4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有_____对.
【答】 7.
设 （ 为正整数），则 ，故 为有理数.
令 ，其中 均为正整数且 .从而 ，所以 ，故 ，所以 .
同理可得 （其中 为正整数），则 .
又 ，所以 ，所以 .
（1） 时，有 ，即 ，易求得 或（3,6）或（6,3）.
（2） 时，同理可求得 .
（3） 时，同理可求得 或（1,2）.
（4） 时，同理可求得 .
因此，这样的有序数对 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.

第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.
解 （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .
设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .
因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，
即 . …………………………………15分
又 ，所以
，
解得 . …………………………………20分

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 .
解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
. …………………………………5分
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ .
…………………………………10分
连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D，
. …………………………………15分
同理，可求得 ， . …………………………………20分
所以 ＝ . …………………………………25分

三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ， ………………………………10分
即 ，
即 ， ………………………………15分
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ， …………………………………20分
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分
证法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，
即 . …………………………………15分

， …………………………20分
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分

第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以
，
因此 . …………………………………10分
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
…………………………………15分
又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. …………………………………20分
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF‖AB. …………………………………25分

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ， …………… …………………10分
即 ，
即 ， ………………………………15分
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ， …………………………………20分
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
……………………………25分
解法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，
即 . …………………………………15分

， …………………………20分
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
……………………………25分

1. 数

整数及进位制表示法，整除性及其判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2. 代数式

综合除法、余式定理。

因式分解。

拆项、添项、配方、待定系数法。

对称式和轮换对称式。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

3. 方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法。

含绝对值的一元一次不等式。

简单的多元方程组。

简单的不定方程(组)。

4. 函数

y=|ax+b|，y=|ax^2+bx+c| 及y=ax^2+b|x|+c的图象和性质。

二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值。

含字母系数的二次函数。

5. 几何

三角形中的边角之间的不等关系。

面积及等积变换。

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。

相似形的概念和性质。

圆，四点共圆，圆幂定理。

四种命题及其关系。

6. 逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用。

简单的组合问题。

简单的逻辑推理问题，反证法。

极端原理的简单应用。

枚举法及其简单应用。

试题类型：选择题、填空题、解答题
一试大概70分 二式50~70

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交城县13221926061： 全国初中数学竞赛问题. - ？
沈图泽荣： 2008年全国初中数学联赛第一试试题及参考答案一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式+的值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE...

交城县13221926061： 全国初中数学竞赛题目？
沈图泽荣： 这个我用高中的方法解:设a为BC,b为AC,则a=cosB*c,b=cosA*c,所以a+b=cosB*c+cosA*c=(cosA+cosB)*c,因为cosA加cosB最大只能是2,所以a加b小于等于2c

交城县13221926061： 初中数学全国竞赛题？
沈图泽荣： 5a^2+6ab+3b^2-30a-20b+46 先把b看成已知数 5a^2+(6b-30)a+3b^2-20b+46 按a配方,剩下的是关于b的二次三项式,再配方就行了,不过运算量较大

交城县13221926061： 一道全国初中数学竞赛题,数学帝进..？
沈图泽荣： 第一行有3个数 第二行有5个数 第三行有7个数 根据等差数列 第N行有2N+1个数 所以第100行有201个数 总个数= (3+201) x100 ÷2=204x50=10200 所以答案是D

交城县13221926061： 初中数学竞赛题？
沈图泽荣： 首先,-3.4 的 {-3.4}=0.6 从x+[y]+[z]=-0.9,可以知道 {x}=0.1, [x]+[y]+[z]=-1 再结合{x}+y+[z]=1.3 可以知道 {y}=0.3-0.1=0.2, [y]+[z]=1 又[x]+{y}+z=0.2,得出z 为整数, [x]+[z]=0[x]+[y]+[z]=-1[y]+[z]=1 [x]+[z]=0得出 [x]=-2 , [y]=-1. [z]=2 , 所以 x=-1.9, y=-0.8, z=2 欢迎追问啊!!!

交城县13221926061： 初中数学竞赛题？
沈图泽荣： 设另一直角边长和斜边长分别是Z,X,显然X>Z>0 根据直角三角形的边长关系有:15^2=X^2-Z^2 即:15^2=(X+Z)(X-Z) 式中 X+Z 和 X-Z 分别是大于零的整数,且满足:X+Z > X-Z > 0 再来看看15^2=225这个数的因数:1,3,5,9,15,25,45,75,225. ...

交城县13221926061： 初中数学竞赛题,急~! - ？
沈图泽荣： 1、解:设12个队为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l 因为任意3队中有两队已比赛 可以先取每次都会抽中ab 则可以得到abc,abd,abe,abf,abg,abh,abi,abj,abk,abl 设a与c,d,e,f,g,h,i,j,k,l比赛过 则每次抽中ac,ad,ae,af,ag,ah,ai,aj,ak,al就不用再试了 同理可得可列出算式10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=(10+1)*10/2=55场2、我也认为第2题有问题,既然下面正方形边为3cm,则上面3根1cm火柴要衔接起来肯定会与下面那3个3cm的火柴棒一起构成一个正方形的 第3题ac+25bd=9根号下55是什么意思?

交城县13221926061： 初中数学全国竞赛题 - ？
沈图泽荣： 5a^2+6ab+3b^2-30a-20b+46先把b看成已知数5a^2+(6b-30)a+3b^2-20b+46按a配方,剩下的是关于b的二次三项式,再配方就行了,不过运算量较大

交城县13221926061： 初中数学竞赛题目 - ？
沈图泽荣：解:将△CBP逆时针旋转60°,变为△CDA. 易得∠PCD=60°,CP=CD,即△CPD为等边三角形.PD=4 同理可证△BAP≌△CAD. 即AD=PB=2倍根号3. 根据AD^2+AP^2=16=PD^2,可知△PAD为直角三角形. 且∠PDA=30°,所以∠CDA=90°. AC=根号下28=4倍根号7

交城县13221926061： 2006全国初中数学竞赛题目及答案 - ？
沈图泽荣： 2006年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的...