级数求和证明的第一步是怎么来的?看不懂求大神教教我!感谢!
这份讲义在误导视听!
1、误导之一:
幂级数 power series,从来没有规定,x 的幂次必须从1开始递增至无穷大!
只要按照某一固定规律的幂次,从非负数至无穷大,就是麦克劳林幂级数。
缺项之说,纯属恶意误导!
2、误导之二:
比较法,只能比较收敛与否,无法得到具体的精确结果!
除非是两头夹挤squeeze theorem,才能得到精确结果。
讲义上的比较法,纯属概念混乱。用x=-1,只能算验证
verification,而不是一般证明 proof!
3、误导之三:
楼主画问号之处,讲义编写者,更是瞒天过海!
不是试图给学生最明快、最直接、最本能的理解,
而是故弄玄虚,学风恶劣!
级数求和三部曲:
1、积分;2、求和;3、求导。
或者
1、求导;2、求和;3、积分。
其中的求和,必定是反向使用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
具体解答如下,如有疑问,欢迎提问,有问必答、有疑必释,直到满意。
、
用傅里叶级数可以得到
设f(x)=x²,x∈[-π,π],把它扩展成周期为2π的周期函数,即F(x)=(x-2kπ)²,x∈[2kπ-π,2kπ+π],k=0,±1,±2,...
扩展之后的F(x)在整个数轴上连续,并且在一个周期[-π,π]上只有x=0一个极值点,即满足傅里叶级数的收敛条件
∴在[-π,π]上F(x)的傅里叶级数就收敛至f(x)
F(x)是偶函数,所以可以展开为余弦级数,计算傅里叶系数:
a0=2/π*∫{0,π}x²dx=2/π*π³/3=2π²/3
an=2/π*∫{0,π}x²cosnxdx,利用分部积分法
令x²=u,cosnxdx=dv,则du=2xdx,v=1/n*sinnx
于是∫x²cosnxdx=uv-∫vdu=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
对∫xsinnxdx再进行一次分部积分,令x=u,sinnxdx=dv,则du=dx,v=-1/n*cosnx
∫x²cosnxdx=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
=x²/n*sinnx-2/n*(-x/n*cosnx+1/n*∫cosnxdx)
=x²/n*sinnx+2x/n²*cosnx-2/n³*sinnx+C
把上下限代入得∫{0,π}x²cosnxdx=2π/n²*cosnπ=(-1)^n*2π/n²
于是an=2/π*(-1)^n*2π/n²=(-1)^n*4/n²
∴f(x)=a0/2+∑(n=1→∞)ancosnx=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π]
f(x)在x=π处左连续,∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ
2π²/3=4∑(n=1→∞)1/n²
∑(n=1→∞)1/n²=2π²/(3*4)=π²/6
整个题目利用了定义法进行求和【即求部分和序列的极限】。
而部分和序列则相当于数列的前n项和,这里的求和方法是高中学过的“裂项相消法”。
第一步之所以是成立的,是因为
其实,更一般地,对于真分式
【真分式意味着P(x)的次数低于分母的次数】
必定可以唯一地分解为以下形式
证明过程可以通过克拉默法则完成【得到关于各个系数的线性方程组】
主要是级数的收敛,定义求解 Sn=1-1/n+1这两个等价,你把级数看成一个数列 就可以了,2个数列形式不同而已
级数求和证明的第一步是怎么来的?看不懂求大神教教我!感谢!
而部分和序列则相当于数列的前n项和,这里的求和方法是高中学过的“裂项相消法”。第一步之所以是成立的,是因为 其实,更一般地,对于真分式 【真分式意味着P(x)的次数低于分母的次数】必定可以唯一地分解为以下形式 证明过程可以通过克拉默法则完成【得到关于各个系数的线性方程组】...
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晏安新雪: 整个题目利用了定义法进行求和【即求部分和序列的极限】.而部分和序列则相当于数列的前n项和,这里的求和方法是高中学过的“裂项相消法”.第一步之所以是成立的,是因为 其实,更一般地,对于真分式 【真分式意味着P(x)的次数低于分母的次数】 必定可以唯一地分解为以下形式 证明过程可以通过克拉默法则完成【得到关于各个系数的线性方程组】
靖边县17683639557: 求级数1+1/n+1/n^2+...+1/n^n+之和 - ?
晏安新雪: 显然不是等比数列 后一项比上前一项的结果是1/n,例如n=2和n=3时明显不同第一步,要通过审敛法证明级数是收敛的(略) 级数的和可以得到结论limSn=limS(n-1)=limS(n+1),并且令limSn=C (limSn表示,当n趋向无穷时,Sn的极限.即级...
靖边县17683639557: 幂级数求和,如图的公式是怎么推出来的,需要详细过程 - ?
晏安新雪: 用以下步骤: (arctanx)'=1/(1+x²) 1/(1+u)=∑〔n=0到∞〕(-u)^n 在[0,x]上积分.
靖边县17683639557: 求f(x)=arctan(2(x - 1)/(1+4x))展开成x的幂级数 - ?
晏安新雪: =========================第一步========================= 先证明: ArcTan[(2 (-1 + x))/(1 + 4 x)] = ArcTan[2 x] - ArcTan[2] 【证】 令 α = ArcTan[(2 (-1 + x))/(1 + 4 x)] β = ArcTan[2 x] γ = ArcTan[2]由于 Tan[α] = (2 (-1 + x))/(1 + 4 x) Tan[β]...
靖边县17683639557: 用微积分方法证明平方和公式 - ?
晏安新雪: 你的问题出在了第一步,第一步如果是关于n的函数项级数,那么求导后再求和应该是2/(1-n),但是你的通向写的不对,如果按照你的方法写,是从1加到n的n平方,那么sn就应该是n的三次方,很显然不能用无穷级数解了,要用无穷级数,你要先确定你的i和n的关系,否则就会乱套.还有就是我还是看不懂你第一行的最后一步怎么变过去的,直接能把求和号去掉,还没用迈克劳林展开式,那你前面对sn求导就是个人间悲剧
靖边县17683639557: 【幂级数】幂级数求和,求详细解释下图是怎么算出来的? - ?
晏安新雪: 这个叫莱伯尼兹级数,证明步骤如下
靖边县17683639557: 无穷级数中的求和有N个数相加然后得出一个具体的公式 这步是怎么算的 最好举例详细说明一下(例如n=1或n=2) - ?
晏安新雪:[答案] 1+2+3+.+n+. 先算:Sn = 1+2+3+.+n 可以用等差列的公式,也可以用对n分奇偶分别用两头加的办法来算. 最后将要算的n代入,就是了.
靖边县17683639557: 求级数的和函数(n从1到正无穷)x^(2n - 1)/(2n - 1)!! - ?
晏安新雪: 首先证明该幂级数收敛,可以对每一项求导,化简后得到所求和函数与它的导数的关系,是一个微分方程,解得和函数表达式.
靖边县17683639557: 如图 级数求和 为什么第一项n=1的时候x^1是1? - ?
晏安新雪: 看是从n=0开始加还是从n=1开始加,两种情况下等比求和的首项不同,前者首项为1,后者首项为x,因此利用等比和=首项/(1-公比)得到结果的分子不同了.
靖边县17683639557: Sn=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n这个怎么求和的? - ?
晏安新雪: 求不了,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下: 由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞ 所以Sn的极限不存在...