完全数公式是怎么推的？（2^p-1）X2^（p-1）

(-2-p/2)^2怎么算~

图

完全数目录
【定义】
【性质】
【历史】
【疑难问题】
【完全数公式】
【完全数判断】
【梅森素数和完全数表】

完全数（Perfect number，又称完美数）是一些特殊的自然数。
[编辑本段]【定义】
若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数。
例如，
6=1+2＋3
28=1＋2＋4＋7＋14
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做盈数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。
[编辑本段]【性质】
完全数有许多有趣的性质：
⒈它们都能写成连续自然数之和。
如：6 = 1+2+3；
28 = 1+2+3+4+5+6+7；
496 = 1+2+3+……+30+31；
……
⒉它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。
如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
……
[编辑本段]【历史】
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有上帝创造世界这种事，6仍旧不失其为完数。
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。
[编辑本段]【疑难问题】
⑴到底有多少完全数？寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了46个完全数。
⑵有没有奇完全数？奇怪的是，已发现的46个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。
至今无人能回答这些问题。
尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。
[编辑本段]【完全数公式】
大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数。p=2，2^p-1=3是质数，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是质数，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数！顾名思义，就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的！事实上，至今，人类只发现了46个梅森素数，也就是只发现了46个完全数。
[编辑本段]【完全数判断】
有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试即可。
例：求 a = p k 是否为完全数？（ p 奇素数，k ∈N ）
解：按完全数公式
2×p k = （1 +p + p 2 +… + pk）= (pk -1)/(p-1) + pk
∵左边＝2×p k，右边＝(pk -1)/(p-1) + pk＜2×p k
∴ 该题无解， a = pk 不是完全数。
PASCAL程序 判断 A~ B 区域内的完全数为
program wanquanshu;
var i,a,b:longint;
function wanquanshu(i:longint):boolean;
var sum,k:longint;
begin
sum:=1;
for k:= 2 to i div 2 do
if i mod k=0 then sum:=sum+k;
if i=sum then wanquanshu:= true
else wanquanshu:=false;
end;
begin
repeat
readln(a,b);
until (a>0) and (b>0) and (b>a);
for i:= a to b do
if wanquanshu(i) then writeln(i);
end.
[编辑本段]【梅森素数和完全数表】
由完全数公式可知，完全数和梅森素数存在对应关系，因此列出梅森素数表，就可以得出完全数表。
梅森素数表
序号 p 位数 发现时间 发现者 (reference)
1 2 1 （无从考究） （无从考究）
2 3 2 （无从考究） （无从考究）
3 5 3 （无从考究） （无从考究）
4 7 4 （无从考究） （无从考究）
5 13 8 1461 Reguis(1536), Cataldi(1603)
6 17 12 1588 Cataldi (1603)
7 19 19 1588 Cataldi (1603)
8 31 10 1750 Euler (1772)
9 61 19 1883 Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)
10 89 27 1911 Powers (1911)
11 107 33 1913 Powers (1914)
12 127 39 1876 Lucas (1876)
13 521 157 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
14 607 183 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
15 1279 386 Jun. 25, 1952 Robinson (1954)
16 2203 664 Oct. 7, 1952 Robinson (1954)
17 2281 687 Oct. 9, 1952 Robinson (1954)
18 3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel
19 4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz
20 4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz
21 9689 2917 May 11, 1963 Gillies (1964)
22 9941 2993 May 16, 1963 Gillies (1964)
23 11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964)
24 19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971)
25 21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980)
26 23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980)
27 44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski
28 86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski
29 110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991)
30 132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski
31 216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski
32 756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage
33 859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage
34 1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS
36 2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS
37 3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS
38 6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS
39 13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS
40 20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS
41 24036583 7235733 May 15, 2004 Josh Findley/GIMPS
42 25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS
43 30402457 9152052 Dec. 15, 2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
44 32582657 9808358 Sep. 4, 2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
第44个梅森素数是现今人类已知的最大的素数。
前10个完全数
6
28
496
8128
130816
2096128
33550336
536854528
8589869056
137438693128

第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：
有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；
我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：
首数是 1
尾数是 2^n-1
项数是 2^n-1
代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 × (2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)
请注意，连续自然数相加从1加到 2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数 2^n-1。证毕。
第二步：我们把无穷连续自然数分组。P为任意奇数。
每一组的首数是 （P^2 +1）/2 - P …… （2）
每一组的尾数是 （P^2 -1）/2 + P …… （3）
用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：
Q =（首数+尾数）/2 × 项数
= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2
× {[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}
= P^2/2 × 2P = P^3
此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。举例：
P 首数 尾数 所占区间 区间内全部自然数之和
1 0 1 0 ～ 1 1=1^3
3 2 7 2 ～ 7 27=3^3
5 8 17 8 ～ 17 125=5^3
7 18 31 18 ～ 31 343=7^3
9 32 49 32 ～ 49 729=9^3
17 128 161 128～161 4913＝17^3

第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。
Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}
= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)
= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2
= 1
本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。

第四步：我们把无穷连续自然数写成连续奇数的立方和。
通过以上的计算，我们得到了一个很完美的连续自然数分组：
(0,1) (2,3,4,5,6,7) (8,9,…,15,16,17) (18,19,…，29,30,31) (32,33, …，47,48,49) (50,51, … ) …… （4）
每一个括号内连续自然数之和是：1^3，3^3，5^3，7^3，9^3，……，
这就证明了无穷连续自然数相加可以写成连续奇数的立方数相加。

第五步：确定任意完全数N写成连续奇数立方和的项数。
完全数N写成连续奇数的立方和，这连续奇数立方的项数是A6 ：
A6 ＝ 2^[(n-1)/2] (n是完全数N的特性系数)
例如完全数8128（n = 7 ）
A6 ＝2^[(n-1)/2] ＝2^[(7-1)/2]＝2^3＝8；
即：完全数8128可以写成8个连续奇数的立方数相加。

第六步：确定任意完全数N写成连续奇数立方和的最后一个奇数。
连续奇数的立方数相加的最后1个奇数是A7：
A7 ＝2^[(n+1)/2] - 1
例如完全数8589869056（n = 17），其连续奇数立方数中最后1个奇数是：
A7 ＝2^[(n+1)/2] - 1＝2^[(17+1)/2] - 1＝2^9 – 1＝511；
即完全数8589869056=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+……+507^3+509^3+511^3

第七步：完全数N分解成连续自然数相加，其最后一个数是它的梅森尼数(2^n-1)。现在我们来证明，这个完全数N写成连续奇数立方数相加的形式后最后一个奇数所占区域里的最后一个数也是这个完全数的梅森尼数，
我们令其最后一个奇数Pi= 2^[(n+1)/2] - 1（n是任意完全数N的特性系数）
我们计算连续奇数立方数相加最后一个奇数Pi= 2（n+1)/2 - 1 在分组式（4）中所占据连续自然数区域中最后一个数：
由（3）式得到，这最后一个数是：

我们把连续自然数相加写成连续奇数的立方数相加：
S = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 ……
我们令其最后一个奇数是Pi= 2^[(n+1)/2] - 1（n是任意完全数的特性系数）
于是有：
S = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 + …… + ｛2^[(n+1)/2] - 1 ｝^3
我们计算连续奇数立方数相加最后一个奇数Pi= 2^[(n+1)/2] - 1 在分组式（4）中所占据连续自然数区域中最后一个数：
由（3）式得到，这最后一个数是：
Q = （P^2-1）/2 + P
= <｛2^[(n+1)/2] – 1｝^2- 1>/2 + {2^[(n+1)/2] – 1}
=<{2^[(n+1)/2]}^2-2*{2^[(n+1)/2]}+1-1>/2+{2^[(n+1)/2]– 1}
= [2^(n+1)]/2- 2^[(n+1)/2] +2^[(n+1)/2] – 1
= 2^n-1
我们这就计算出，连续奇数立方数相加，当最后一个奇数数值是 2^[(n+1)/2] - 1的时候，这最后一个奇数在连续自然数组（4）式中所占区域的最后一个数同样也是特性系数为n的完全数的梅森尼数2^n-1。
再说得简单和明白一点，那就是说，完全数可以写成连续自然数相加，而这个连续自然数又可以写成连续奇数的立方和。

抛物线是横多公式的，
一般形式：y=ax^+bx=c
顶点式y=a(x-k)+h K为顶点横坐标H为纵发坐标
两根式y=a(x+k)(x+h)K,H为与X轴交点
根的判别式【与X轴是否有交点】b^-4ac
韦达定理X1+X2=-a/b X1*X2=a/c
求顶点公式(-2a/b,{4ac-b^/4a}

因式分解a的3次方的公式：a3次方+3a^+3ab+b^
哈哈。我刚好学到。我初3. 2次方记号有点小 我QQ:805882202

完全数就是它除了本身以外的因数和等于其本身。 ６，２８，４９６，８１２８，３３５５０３３６……都是完全数 公式：如果有一个自然数n，符合（２的n次方－１）是质数，那么（２的n次方－１）＊（２的n次方）／２是完全数。 历史 大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。 例如p＝2，2^p-1＝3是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝3X2＝6，是完全数。 例如p＝3，2^p-1＝7是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝7X4＝28，是完全数。 但是2^p-1什么条件下才是质数呢? 事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。

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云城区17026883974： 完全数的求法 - ？
荤狡重组： 欧几里德曾推算出完全数的获得公式:如果2^p-1是质数,那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数.p=2,2^p-1=3是质数,(2^p-1)2^(p-1)=3*2=6,p=3,2^p-1=7是质数,(2^p-1)2^(p-1)=7*4=28完全数不多,迄今也只发现不到50个,因为满足2^p-1是质数的情况并不多.

云城区17026883974： 完全数公式是怎么推的?(2^p - 1)X2^(p - 1) - ？
荤狡重组： 完全数就是它除了本身以外的因数和等于其本身. 6,28,496,8128,33550336……都是完全数 公式:如果有一个自然数n,符合(2的n次方-1)是质数,...

云城区17026883974： 关于奇完全数不是有公式如果2^p - 1质数,那么(2^p - 1)*2^(p - 1)便是一个完全数因为2^p - 1质数,除了2,质数全部是奇数又因为2的任何次方都是偶数,所以2^... - ？
荤狡重组：[答案] 2^(p-1)是一个偶数 2^p-1是奇数 所以(2^p-1)*2^(p-1)是偶数 所以他不可能是奇完全数

云城区17026883974： 求教一个完美数的算法?能算至少20个,必有重谢! - ？
荤狡重组：[答案] 大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式:如果p是质数,且2^p-1也是质数,那么(2^p-1)*2^(p-1)便是一个完全数. 当2^p-1是质数的时候,称其为梅森素数.至今,人类只发现了47个梅森素数,也就是只发现了47个完全数. 第20个对应p=4423,...

云城区17026883974： 自然数中有多少个完全数 - ？
荤狡重组：[答案] 1、到底有多少完全数? 寻找完全数并不是容易的事.经过不少数学家研究,到目前为止,一共找到了47个完全数. 2、有没有奇完全数? 奇怪的是,已发现的47个完全数都是偶数,会不会有奇完全数存在呢?如果存在,它必须大于10^300. 至今...

云城区17026883974： c语言 完全数 最快算法？
荤狡重组： 20亿内的完全数也就6个,,,,,可以先找梅森素数(即,如果(2^p-1)是素数,那么它就是梅森素数),再根据用(2^p-1)2^(p-1),这个就是完全数. 如果楼主非要用自己那方法找,还是可以优化下的,不过提高得不多, 一个办法就是在 if(i%j==0)s+=j; if(s==i)printf(＂%ld\n＂,i); 之间加入一句.if(s&gt;i) break;

云城区17026883974： 什么叫完全数?一共有那些完全数? - ？
荤狡重组： 完全数 【定义】若一个自然数,恰好与除去它本身以外的一切因数的和相等,这种数叫做完全数. 例如,6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 【疑难问题】(1)...

云城区17026883974： 完数的意义 - ？
荤狡重组： 完数,即完美数,一个数如果恰好等于除它本身外的因子之和,这个数就称为完数.例如6=1+2+3.(6的因子是1,2,3)【性质】 完全数有许多有趣的性质: ⒈它们都能写成连续自然数之和. 如:6 = 1+2+3; 28 = 1+2+3+4+5+6+7; 496 = 1+2+...

云城区17026883974： 关于奇完全数 - ？
荤狡重组： 2^(p-1)是一个偶数2^p-1是奇数 所以(2^p-1)*2^(p-1)是偶数 所以他不可能是奇完全数

云城区17026883974： 什么是完全数?它的规律是什么?正因子什么? - ？
荤狡重组： 完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数.它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身.例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1...