马尔可夫不等式和切比雪夫不等式

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中文叫马尔科夫不等式或马尔可夫不等式。

若随机变量 只取非负值，则 ，有

证明 ：
取 ，则必有 ，进而有 。

而

因此有 ，得证。

以上证明非常简单，如果想直观地理解一下，就是将整个 的分布减小（分布图像向左移）到 和 处两个部分，减小后的分布的期望一定小于原来的期望。如下图：

如果用积分形式来证，也非常直接：

Markov's inequality用得非常少，因为它给出的上界宽松了，但用它可以证明另一个著名的不等式——Chebyshev's inequality，中文叫切比雪夫不等式。

假设随机变量 有均值 、方差 ，则 ，有：

证明：

取 ，则它非负，而 也非负，使用Markov's Inequality，有：

而 ， 与 又是等价的，因此得证。

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五营区17642734973： 切比雪夫不等式 - ？
党岸朗瑞：[答案] 切比雪夫(Chebyshev)不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有P{|X-EX|>=ε}=ε} 越小,P{|X-EX|=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和...

五营区17642734973： Markov's inequality是什么意思 - ？
党岸朗瑞： Markov's inequality 马尔可夫的不等式 inequality 英[ˌɪnɪˈkwɒləti] 美[ˌɪnɪˈkwɑ:ləti] n. 不平等,不均等; [数] 不等式; 变动,变化; 不相同; [例句]We used to worry about income inequality.我们过去常常担忧收入不平等.复数:inequalities

五营区17642734973： 什么是切比雪夫不等式有什么意义 - ？
党岸朗瑞： 切比雪夫(Chebyshev)不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 切比雪夫不等式说明,DX越小,则 P{|X-EX|>=ε} 越小,P{|X-EX|<ε}越大, 也就是说,随机变量X取值 基本上集中在EX附近,这进一步说明了方差的意义. 同时当EX和DX已知时,切比雪夫不等式给出了概率 P{|X-EX|>=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用.需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守.

五营区17642734973： 基本不等式链有哪些? - ？
党岸朗瑞： 基本不等式链是一组进行不等式推导的基本不等式,其中包括一元不等式、二元不等式和绝对值不等式.以下是常见的基本不等式链及其示例:1. 一元不等式链:a) 正数平方不等式:对于任意正实数 a 和 b,有 a² ≥ 0.举例:x² ≥ 0,对任意...

五营区17642734973： 求一本全面介绍概率中不等式的书籍,比如说,马尔可夫不等式,切比雪夫不等式?更重要的是, Cramer's Theorem and Hoeffding's Inequality,Chernoff ... - ？
党岸朗瑞：[答案] 你很幸运...真的有关于概率不等式的书,而且挺全面的.

五营区17642734973： 切比雪夫不等式到底是个什么概念 - ？
党岸朗瑞： 由切比雪夫提出,描述如下:设随机变量X的数学期望和方差都存在,则对任意常数 ε>0,有P( | X - E(X) | ≥ ε ) ≤ D(X) / ε² ,或P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε².在初等数论中,若a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn,则a1bn+a2b(n-1)+……+anb1...

五营区17642734973： chebyshev's inequality是什么意思 - ？
党岸朗瑞： Chebyshev's Inequality 切比雪夫不等式; 由切比雪夫提出,描述如下: 设随机变量X的数学期望和方差都存在,则对任意常数 ε>0,有P( | X - E(X) | ≥ ε ) ≤ D(X) / ε² ,或P( | X - E(X) |