如何证明数列an收敛？
猜想an<2
利用数学归纳法：
a1=√2<2
假设当n=k时，ak<2
则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2
因此，an<2
再证an单调
a(n+1)-an
=√(2*an)-an
=√an * (√2-√an)
因为an<2
因此a(n+1)-an>0
即，an单调递增
由单调有界定理，an收敛，设收敛到a
即有，lim an=a
a(n+1)=√(2*an)
同取极限，
lim a(n+1)=lim √(2*an)
a=√(2*a)
a=2
因此，lim an=2
有不懂欢迎追问
求数列{ an}的极限,有何方法?
概念法：根据数列极限的定义，如果存在一个正数ε，当n>N时，|an-M| < ε恒成立，那么数列{an}的极限为M。定理法：利用以下定理来判断数列的极限是否存在：单调且有界数列必存在极限。夹逼准则：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足以下条件：a1≤b1≤c1，an≤bn≤cn（n=1,2,3,...），lim an=...
列紧性定理与收敛定理有何区别?
4.证明方法不同：由于列紧性定理和收敛定理描述的对象和性质不同，因此它们的证明方法也有所不同。列紧性定理的证明通常需要利用实数的完备性或者可数性来构造一个有限覆盖，从而证明给定的实数序列具有列紧性；而收敛定理的证明则需要利用极限的定义或者柯西准则等方法来证明给定的函数序列在某一点附近收敛...
迫敛性中的证明子数列中的N n K k字母分别是什么含义
要证明子列{xnk}也具有极限a,因为xnk是子列中的第k项,k才是变化的量,所以我们就是要证明对任意E>0,总存在某个正整数K,当k>K时,|xnk-a|<E对不对?那它怎麼证的呢?因为原数列{xn}收敛,所以对任意E>0,总存在某个正整数N,当n>N时,|xn-a|<E.我把这个n换一下,换成k,因为什麼?没人...
∑(1\/n^p) 何时收敛
∑f(n)于∫(1到正无穷）f(x)dx的敛散性一致，具体证明忘了（大概是对1到正无穷等分，积分下限等于级数中n的起始值，利用定积分的定义可以证得）∑(1\/n^p)与∫(1到正无穷）1\/x^pdx的敛散性一致 很容易推倒出p>1是收敛,p<=1时发散。
关于数列的极限,收敛和发散的问题,证明题
1、极限存在，为u,z则 对un=α*{u（n-1）} -1，两边取极限，u=αu-1,u=1\/(α-1)2\\如图 3、假如第二问我没做（国外的题就是这样，发散性很强；不向国内的题，都有标准答案）这个没必要回答完整。（1）b=0,|a|<1 这时，|un|一定越来越小，能不收敛吗？（2）我做这种题也不...
数列极限证明的过程看不懂,大神求教
第一步应该是解一个∣Xn-a∣<ε 的不等式，得到的结果是一个用ε表示的关于n的不等式。也就是n>1\/2ε 。第二步要借此确定N的取值，使得n>N，这样才可以确定数列从哪一项开始收敛。第三步是说明在N取何值时，∣Xn-a∣<ε成立，由此证明极限成立。取N=max（2，1\/2ε ），就使得当n>N...
设级数∑(un-un+1)收敛,证明∑un也收敛
∑ u^2 与 ∑ v^2收敛 证明级数∑ uv收敛 因为∑ u^2 与 ∑ v^2收敛， 则∑ u^2 + ∑ v^2收敛 而∑ （u^2 + v^2）>=2∑uv 则∑ uv收敛 设级数∑ u 绝对收敛 证明∑u^2收敛 ∑ u 绝对收敛，则∑|u|收敛, 则有:|Un|\/|Un-1|=r 因为此时为正项数列不可能为 ...
收敛与发散有何区别?
1、发散：数学分析术语，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。2、收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于...
求考研数学必备公式
10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn= 当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。 12、...
如何在使用教育技术的同时兼顾教学重难点,举例与大家交流共享。_百度知 ...
第n项,…。数列的一般形式可写成:a1,a2,a3,…,an…,简记为{an},其中an表示数列的第n项。接着引导学生再观察以上几个数列的项与项数之间的关系,如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。最后通过数列通项公式与函数解析式的对比研究,...
郭梅硫酸：[答案] 利用收敛数列必有界. 那么有界集合,必有上确界和下确界. 收敛数列必有界的证明 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|N时 a-e
故城县13050398416： 数学分析考研题目:证明数列an收敛 - ？
郭梅硫酸： 用积分判别法可以判定 sum 1/[kln^2(k)] 收敛 再利用一次比较判别法 ln(1+x/[kln^2(k)]) <= x/[kln^2(k)]
故城县13050398416： 设an=1/(1+n)+1/(2+n)+……+1/(2n),证明数列{an}收敛. - ？
郭梅硫酸： an=1/n*[1/(1/n+1)+1/(2/n+1)+...+1/(n/n+1)] lim(n→∞)an=∫[0,1]dx/(1+x)=ln(1+x)|[0,1]=ln2 所以收敛
故城县13050398416： 如何证明数列收敛?? - ？
郭梅硫酸： 楼上说有问题. 数列收敛的定义:如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|<q都成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值. 比如数列an=a0+1/n,随着n增大,lim(an)=a0,因此可证明数列{an}是收敛的. 具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程,不可能在这给LZ一一列出来.LZ可参考微积分II的教材,非常详细.
故城县13050398416： 数列{an}的每个子列都含有一个以a为极限的收敛子列,证明数列{an}收敛于a - ？
郭梅硫酸： 反证法.若{an}不以a为极限,则取ε=1,对任意的N,存在n0>N ,使得 |an0-a|>1, 取N=1,得n1 使得 |an1-a|>1; 取N=n1,得n2>n1,使得 |an2-a|>1; ..... 取N=nk,得nk+1>nk,使得 |ank+1-a|>1; .... 这样就得到了{an}的一个子列{ank},而由{ank}的定义,显然不存在以a为极限的子列,矛盾!
故城县13050398416： 证明:若单调数列an含有一个收敛子列,则an收敛. - ？
郭梅硫酸：[答案] 不妨设这个数单增,即a1=ank>ak 所以数列ak是一个单增有上界的数列,所以收敛. 进一步还可以说明 ak→b
故城县13050398416： 证明数列收敛的充要条件证明定理( 数列收敛充要条件){an}收敛子列{a2k - 1}和{a2k}收敛于同一极限. - ？
郭梅硫酸：[答案] 证明=>{an}收敛于a=>对任意ε>0,存在N>0,对任意n>N时,有|an-a|N时有2n-1>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a(2n-1)-a|N时有2n>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a2n-a|0,存在N1>0,对任意n>N1时,有|a(2n-1)-a|对...
故城县13050398416： 求证明数列是收敛数列并找出极限.定义一个数列(an),使得: - ？
郭梅硫酸： 利用单调有界数列必收敛 先证单调性a(n+1)-an=√1+an-√1+a(n-1)=[an-a(n-1)]/[√1+an+√1+a(n-1)] 这样就容易由数学归纳法证明数列是单调的a2=√2,所以a2-a1>0 若an-a(n-1)>0显然有a(n+1)-an>0,所以数列单调增 再证有界a1=1<2,若an<2,a(n+1)=√(1+an)<√3<2这样就证明了数列有界 所以它的极限存在设为a a=√(1+a) 解得a=(1+√5)/2 解题的关键就是利用数学归纳法证明数列单调且有界
故城县13050398416： 证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,并求其极限. - ？
郭梅硫酸： 证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,极限是2.显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增,下面用数学归纳法证明an有上界即an<2.当n=1时,a1<2显然成立,假设当n=k时,ak<2成立...
故城县13050398416： 设a1=1 数列a(n+1)等于根号下(3+2(an)) 证明数列an收敛并求出极限.(提示用数学 - ？
郭梅硫酸： 先证an有界 猜想an<2 利用数学归纳法: a1=√2<2 假设当n=k时,ak<2 则n=k+1时,a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2 因此,an<2再证an单调 a(n+1)-an =√(2*an)-an =√an * (√2-√an) 因为an<2 因此a(n+1)-an>0 即,an单调递增由单调有界定理,an收敛,设收敛到a 即有,lim an=a a(n+1)=√(2*an) 同取极限, lim a(n+1)=lim √(2*an) a=√(2*a) a=2因此,lim an=2
