加菲尔德的勾股定理

1876年，美国总统伽菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节~

如图：由四个全等的直角三角形围成的图形，设斜边为C，短直角边为A，长直角边为B则：大正方形的面积为C^2；每个直角三角形的面积为AB/2黄色正方形的面积为（B－A）^2而黄色正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积所以：有（B－A）^2＝C^2－4*（AB/2）整理：C^2=A^2+B^2即：直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

（梅文鼎证明）
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

【证法2】（项明达证明）
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【证法3】（赵浩杰证明）
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上,
所以a^2+b^2=c^2
【证法4】（欧几里得证明）
作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
【证法5】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立. 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）. 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB. 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH. 画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L. 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H. ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC. 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD. 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2. 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2. 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2. 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

如果直角三角形的直角边长为a和b，斜边长为c，那么，a²+b²=c²。公元前6世纪，古希腊杰出的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）首先从理论上证明了这个定理后，欣喜若狂，宰了100只牛来表示庆祝，因此这个定理又被人叫做“百牛定理”。

加菲尔德对毕达哥拉斯定理的证明是基于一个a、b和高度a+b的梯形。他用两种不同的方式看图的面积：梯形的面积和三个直角三角形的面积，其中两个是相等的。

扩展资料

在我国，有一部流传下来的、最早的数学与天文著作。名叫《周髀算经》，成书于公元前100年左右，即西汉时期。书中有一段记载商高（生活在公元前11世纪的人）回答周公的话“勾广三，股修四，经隅五”，其意思是，如果直角三角形两条直角边长为3和4，则斜边长必定是5。

在古汉语中，“邪”与“斜”是通假字。陈子的话，已十分明确地表达了现代勾股定理的内容。我国古代几何学不但有悠久历史和丰富内容，而且具有自己独特的风格，我国古代几何学的特色之一是从实践中总结提高所形成的“出入相补”原理。

一个平面图形从一处移置他处，面积不变；把图形分割成几块，则各部分面积之和等于原来图形的面积。

三国时期魏人刘徽（公元3世纪）在注《九章算术》勾股术时说：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”。其意思就是将“出”的割下，补到“入的地方”，其余部分保留不动。

参考资料来源：百度百科-勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

扩展资料

詹姆斯·艾伯拉姆·伽菲尔德（英语：James Abram Garfield，1831—1881），美国政治家、数学家，生于俄亥俄州。美国共和党人。南北战争期间加入北方军队，与南方奴隶制军队作战，拥有少将军衔。

他在数学方面的贡献主要是在勾股定理的证明方面的新成就，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的总统。加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

参考资料来源：百度百科——勾股定理

詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德同样也是一名数学家，为勾股定理做出了显著的贡献，创造了另一种证法，也就是我们常说的“总统证法”。
美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理的方法：
两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，
则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即
（AC+DE）×CD÷2=AC×BC÷2+BD×DE÷2+AB×BE÷2
（a+b）²÷2=a×b÷2+a×b÷2+c×c÷2
化简整理得a²+b²=c²
即证明了勾股定理。

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