n项的基本不等式如何证明？
𝑎
1
,
𝑎
2
,
.
.
.
,
𝑎
𝑛
a
1
,a
2
,...,a
n
，基本不等式表述为：
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑛
𝑛
≥
𝑎
1
⋅
𝑎
2
⋅
.
.
.
⋅
𝑎
𝑛
𝑛
n
a
1
+a
2
+...+a
n
≥
n
a
1
⋅a
2
⋅...⋅a
n
其中等号成立的条件是所有的
𝑎
𝑖
a
i
都相等。
证明基本不等式的一个方法是使用归纳法和柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）。
基础情况：
当
𝑛
=
2
n=2时，基本不等式就是常见的算术平均-几何平均不等式：
𝑎
1
+
𝑎
2
2
≥
𝑎
1
⋅
𝑎
2
2
a
1
+a
2
≥
a
1
⋅a
2
这可以通过平方差的形式来证明：
(
𝑎
1
−
𝑎
2
)
2
𝑔
𝑒
𝑞
0
(
a
1
−
a
2
)
2
geq0
展开得到：
𝑎
1
+
𝑎
2
−
2
𝑎
1
⋅
𝑎
2
≥
0
a
1
+a
2
−2
a
1
⋅a
2
≥0
从而：
𝑎
1
+
𝑎
2
2
≥
𝑎
1
⋅
𝑎
2
2
a
1
+a
2
≥
a
1
⋅a
2
归纳步骤：
假设对于某个正整数
𝑘
k，基本不等式成立，即对于任意的
𝑘
k个非负实数，有：
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
𝑘
≥
𝑎
1
⋅
𝑎
2
⋅
.
.
.
⋅
𝑎
𝑘
𝑘
k
a
1
+a
2
+...+a
k
≥
k
a
1
⋅a
2
⋅...⋅a
k
我们需要证明当
𝑛
=
𝑘
+
1
n=k+1时，不等式也成立。
考虑
𝑘
+
1
k+1个非负实数
𝑎
1
,
𝑎
2
,
.
.
.
,
𝑎
𝑘
,
𝑎
𝑘
+
1
a
1
,a
2
,...,a
k
,a
k+1
，根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：
(
𝑎
1
2
+
𝑎
2
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
2
+
𝑎
𝑘
+
1
2
)
⋅
(
1
2
+
1
2
+
.
.
.
+
1
2
+
1
2
)
≥
(
𝑎
1
𝑐
𝑑
𝑜
𝑡
1
+
𝑎
2
𝑐
𝑑
𝑜
𝑡
1
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
⋅
1
+
𝑎
𝑘
+
1
⋅
1
)
2
(a
1
2
+a
2
2
+...+a
k
2
+a
k+1
2
)⋅(1
2
+1
2
+...+1
2
+1
2
)≥(a
1
cdot1+a
2
cdot1+...+a
k
⋅1+a
k+1
⋅1)
2
简化得到：
(
𝑎
1
2
+
𝑎
2
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
2
+
𝑎
𝑘
+
1
2
)
⋅
(
𝑘
+
1
)
𝑔
𝑒
𝑞
(
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
+
𝑎
𝑘
+
1
)
2
(a
1
2
+a
2
2
+...+a
k
2
+a
k+1
2
)⋅(k+1)geq(a
1
+a
2
+...+a
k
+a
k+1
)
2
取两边的
(
𝑘
+
1
)
(k+1)次方根，得到：
𝑎
1
2
+
𝑎
2
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
2
+
𝑎
𝑘
+
1
2
𝑘
+
1
𝑔
𝑒
𝑞
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
+
𝑎
𝑘
+
1
𝑘
+
1
k+1
a
1
2
+a
2
2
+...+a
k
2
+a
k+1
2
geq
k+1
a
1
+a
2
+...+a
k
+a
k+1
由于
𝑎
𝑖
2
≥
𝑎
𝑖
a
i
2
≥a
i
（因为
𝑎
𝑖
a
i
是非负的），我们有：
𝑎
1
2
+
𝑎
2
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
2
+
𝑎
𝑘
+
1
2
𝑘
+
1
𝑔
𝑒
𝑞
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
+
𝑎
𝑘
+
1
𝑘
+
1
k+1
a
1
2
+a
2
2
+...+a
k
2
+a
k+1
2
geq
k+1
a
1
+a
2
+...+a
k
+a
k+1
结合上面的不等式，我们得到：
𝑎
1
+
𝑎
2
+
.
.
.
+
𝑎
𝑘
+
𝑎
𝑘
+
1
𝑘
+
1
≥
𝑠
𝑞
𝑟
𝑡
[
𝑘
+
1
]
𝑎
1
⋅
𝑎
2
⋅
.
.
.
⋅
𝑎
𝑘
⋅
𝑎
𝑘
+
1
k+1
a
1
+a
2
+...+a
k
+a
k+1
≥sqrt[k+1]a
1
⋅a
2
⋅...⋅a
k
⋅a
k+1
这就完成了从
𝑛
=
𝑘
n=k到
𝑛
=
𝑘
+
1
n=k+1的归纳步骤。
因此，通过归纳法，我们证明了对于任意正整数
𝑛
n，基本不等式成立。
高中不等式的基本性质
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