【高等数学】两个重要的极限
一、首个关键极限：一个公式揭示的智慧
当分子和分母共享一个变量，且分子趋于零时，极限的魔力显现。公式揭示了这样的规律：当 (x-a)趋近于0， (f(x) - L)乘以 (1/(x-a))的极限为 f(a)本身。
例1： 求 lim (x->a) [(f(x) - f(a)) / (x-a)]，利用这个公式，我们有：
注意到 x->a 时，f(x) - f(a) 可以凑成 (x-a) * g(x) 形式，抵消后得到 f'(a)。
注： 原趋势的关键在于保证 (x-a) 趋近于 0，替换或直接计算皆可。
二、第二个关键极限：乘幂奇缘
当面对形如 (1 + h)^n 或 (1 + 1/h)^n 的极限问题，两个公式为我们提供了解决之道：若 h 趋近于 0，极限分别为 e^n 和 1。它们的共同点是倒数关系，确保幂次项抵消。
例2： 求 lim (x->0) [(1 + x)^1/x]，可以通过 1 + x 变形为 (1 + 1/x)，应用右极限公式。
注： 保持 h 或 1/h 的趋势不变，即可顺利求解。
附加：极限的运算神器
掌握极限的指数运算法则，如若 lim (x->a) [f(x)^g(x)] 存在，那么 lim (x->a) [f(x)]^g(x) = [lim (x->a) f(x)]^[lim (x->a) g(x)]，这为复杂极限问题提供了简便路径。
导数定义的极限公式：逼近速度的揭示
最后，让我们聚焦导数定义的极限公式：若 f(x) 在 x=a 点连续，那么 f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h，这是理解函数变化率的基石。
例3： 求 f'(a)，只需将极限应用于此公式，我们有：
...
通过理解并熟练运用这些关键极限，我们就能在求解高等数学中的极限问题时游刃有余。
高等数学中的第二重要极限是什么?
第二个重要极限的公式：lim (1+1\/x) ^x = e（x→∞）当 x → ∞ 时，（1+1\/x）^x的极限等于e；或 当 x → 0 时，(1+x）^（1\/x）的极限等于e。第二个要看场合，在整体乘除运算时等价无穷大可以替代，加减运算不能替代。在幂指函数求极限中不能代替，因为取对数时除法变减法，...
关于高数中两个重要极限的问题
“大于1的数的无穷大次方是无穷大”这是有问题的。因为1+x并不是一个确定的数！x在变化，当x->0+的时候就有极限了。如果(1+0.1)exp(1\/x)当x->0+时，才有你说的情况。在高数后面就会看到，1exp(∞),(∞)exp(0)这种情况都是不定式，它们有可能趋近于无穷大，也可能趋近一个数。
请教高数两个重要极限的证明
而注意，x→0时，cosx→1；然后由夹逼准则就可以得出sinx~x，x→0；另一个用的是单调有界数列必有极限这个定理来证明的。首先说明那个数列是递增的，然后通过放缩可知其肯定小于3.然后直接给出了一个值e=2.718281828459045...(同济5版高等数学教材给出的)放缩的过程数字写的比较麻烦，涉及指数和二项...
高等数学中由两个重要极限得出的已知极限可以直接用么?
原则上是可以的，但如果你怕不保险，还是把重要极限写在前面吧，也不是很麻烦的啊~~一个定理或者公理可以推出很多结论，我们在使用这些结论时，大多还还是把定理写在前面。这两个极限就好比两个定理，道理是一样的啊。
第二重要极限变形公式是什么?
第一个重要极限的公式 第一个重要极限公式是：lim((sinx)\/x)=1(x->0)。高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是sinx\/x→1（x→0），与(1+1\/x)^x→e^x（x→∞）。另外，关于等价无穷小，有sinx~tanx~arctanx~arcsinx~e^x-1~ln(1+x)~(a^x-1)\/lna~[(1+x)^a-1]\/...
大学常用极限公式有哪些
其中，高等数学中的两个重要极限是：\\( \\frac{\\sin(x)}{x} \\rightarrow 1 \\) 当 \\( x \\rightarrow 0 \\)，以及 \\( (1 + \\frac{1}{x})^x \\rightarrow e \\) 当 \\( x \\rightarrow \\infty \\)。等价无穷小近似关系还包括：\\( \\sin(x), \\tan(x), \\arctan(x), \\arcsin(x...
高等数学中求极限问题,利用两个重要极限解决问题。其中圈圈部分怎么就...
分子分母同时除以x²
高等数学,关于第二个重要极限的计算,要过程,直接看图。
2013-07-31 高等数学重要极限公式 7 2016-02-29 微积分 两个重要极限 第二个公式的变形、应用、技巧 45 2018-04-07 高等数学中由两个重要极限得出的已知极限可以直接用么 3 2012-10-03 高等数学极限的几个重要公式 200 2019-04-24 高数三的两个重要极限是什么? 48 2010-09-04 如何证明高等数学...
线性代数和高等数学有联系吗?
有联系。高等数学和线性代数是两个重要的分支，高等数学里面处理的主要是微积分方面来的知识，而线性代数主要处理的是来自几何方面的东西，如n维空间中的元素的表示就是线性代数里面的矩阵相关的东西。高等数学里面的微积分处理的是一般的工具，如果要区分，唯一的区分就是，一个以微积分为主题，一个以矩阵...
上鸦甘油： 重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1 重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e
陇南市15855307981： 请教高数两个重要极限的证明 - ？
上鸦甘油：[答案] sinx/x→1,(x→0)用夹逼准则来证明,用到tanx=sinx/cosx>x>sinx(在单位圆里的第一象限) 而注意,x→0时,cosx→1;然后由夹逼准则就可以得出sinx~x,x→0; 另一个用的是单调有界数列必有极限这个定理来证明的.首先说明那个数列是递增的,然...
陇南市15855307981： 高数关于两个重要极限的题目!求这两个极限:lim x - 0 sin2x/sin5x lim n - 无穷 2^n sinx/2^n 本人初学,求教! - ？
上鸦甘油：[答案] 这是个较为重要的极限求解,也比较基本,就是应用limx趋近于0,sinx~x的等价代换1.limx~0时,应用上式有sin2x~2x,sin5x~5x,上下同时约去x,得到答案 2/52当lim n趋近于无穷大时,x/(2^n)趋近于0,有sin[x/(2^n)]~x/(2^n),有...
陇南市15855307981： 如何证明高等数学两个重要极限公式 - ？
上鸦甘油：[答案] 两个都可以用导数的定义来证明,或者是洛必达法则. 第一个是sinx在(0,0)处的导数. 第二个先取对数In,是In(x+1)的导数,算出来是1,结果是e∨1.
陇南市15855307981： 高数两个重要极限？
上鸦甘油： 令根号下x等于t,极限化为tcos(7t)/sin(7t) t趋于零时,cos7t趋于1,故而原极限等于t/sin(7t) 这是0/0型,用罗必达法则,可得1/[7cos(7t)]=1/7
陇南市15855307981： 高等数学极限的几个重要公式 - ？
上鸦甘油： 两个重要极限: 设{xn}为一个无穷实数数列的集合.如果存在实数a,对于任意正数ε (不论其多么小),都∃N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a. 如果上述条件不成立,...
陇南市15855307981： 关于高数中两个重要极限的问题高等数学有第一章里介绍了两个重要极限,其中有一个是lim=(1+1/x)exp(x)=e,不过在变量代换中有个问题我不是很清楚,上... - ？
上鸦甘油：[答案] “大于1的数的无穷大次方是无穷大”这是有问题的. 因为1+x并不是一个确定的数! x在变化,当x->0+的时候就有极限了. 如果(1+0.1)exp(1/x)当x->0+时,才有你说的情况. 在高数后面就会看到,1exp(∞),(∞)exp(0)这种情况都是不定式,它们有可...
陇南市15855307981： 两个重要极限？
上鸦甘油： 这是一个基本的概念,所以在随便能找到的任意一本高等数学的教科书当中,都有关于这个概念的详细讲解和推导过程.自己去找一下吧.而且也不复杂,多看两遍就会理解了. 哦,两个重要极限是用两个准则推出来的, 一个准则是夹逼准则,这个可以用权限的定义很容易得到结论, 另一个准则是单调有界数列必有极限.这个在教科书中只要求掌握结论就可以了,不要求对它的证明. 应用准则一,可以直接推导出第一个重要极限,利用准则二推出第二个重要极限,具体的过程找来教科书看一下吧.
陇南市15855307981： 关于高等数学两个重要极限？
上鸦甘油： lim[(3-2x)/(2-2x)]^x =lim[(2-2x+1)/(2-2x)]^x =lim[1+1/(2-2x)]^x =lim[1+1/(2-2x)]^[(2-2x)*(-1/2)+1] ={lim[1+1/(2-2x)]^(2-2x)}^(-1/2)*lim[1+1/(2-2x)]^1 =e^(-1/2)*1 =1/√e
陇南市15855307981： 高数中的两个重要极限 在题中怎样解答 - ？
上鸦甘油： 重要极限 lim(x→0)sinx/x=1 lim(x→∞)(1+1/x)^x=e 两个例子见图片 向左转|向右转 向左转|向右转
