求两个微分方程的通解

二阶线性齐次微分方程通解求法~

一、解：
求特征方程r^2+P(x)r+Q(x)=0，解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数，
则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
二、r是微分方程的特征值，它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。
将其看成一元二次方程，判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根，但在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；
在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；所以本题的两个特征值符合这一关系，故谓共轭复根。
扩展资料：
对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：
对于数列

，递推公式为

其特征方程为

1、 若方程有两相异根p、q ，则

2、 若方程有两等根p ，则

参考资料来源：百度百科-特征方程

第二题的求解过程如下。
解:∵微分方程为dy/dx=3^(x+y)，化为dy/dx=3^x×3^y∴有dy/3^y=3^xdx，-3^(-y)/ln3=3^x/ln3-c/ln3(c为任意常属数)，方程的通解为1=(c-3^x)3^y，即1=c3^y-3^(x+y)
第二题答案是
dy/dx=-x/y
即ydy=-xdx
两边积分
∫ydy=∫-xdx
所以y²/2=(-x²+C)/2
y²=-x²+C
所以y=√(C-x²)
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。

一阶齐次线性微分方程
对于一阶齐次线性微分方程：来

其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

(1).  求微分方程(y+2xy²)dx+(x-2x²y)dy=0的通解

解：由于∂P/∂y=1+4xy≠∂Q/∂x=1-4xy；∴不是全微分方程；但有积分因子μ=1/(x²y²)；

用μ乘原方程的两边得：[(1/x²y)+2/x]dx+[(1/xy²)-2/y]dy=0

此时P=(1/x²y)+2/x；∂P/∂y=-1/(x²y²)；Q=(1/xy²)-2/y，∂Q/∂x=-1/(x²y²)；

∂P/∂y=∂Q/∂x=-1/(x²y²）,∴是全微分方程；于是通解：u(x，y)=

这就是原方程的通解。

(2). 求微分方程 y''=3x²y'/(1+x³)的通解

解：令y'=p；则y''=dp/dx；于是有：dp/dx=3x²p/(1+x³);

分离变量得：dp/p=[3x²/(1+x³)]dx；积分之得：

lnp=∫[3x²/(1+x³)]dx=∫d(1+x³)/(1+x³)=ln[c₁(1+x³)]

故p=dy/dx=c₁(1+x³)；再次分离变量并积分之得y=c₁∫(1+x³)dx=c₁[x+(1/4)x^4]+c₂;

这就是原方程的通解。

第一题没有找到解法

解:微分方程为(y+2xy²)dx+(x-2x²y)dy=0，y(1+2xy)dx=x(2xy-1)dy，xy(1+2xy)dx=x²(2xy-1)dy，设xy=u，方程化为u(1+2u)/(2u-1)=xdu/dx-u，4u²/(2u-1)=xdu/dx，(2u-1)du/u²=4dx/x²，2du/u-du/u²=4dx/x²，lnu²+1/u=-4/x+c(c为任意常数)，微分方程的通解为ln(xy)²+1/(xy)=c-4/x
微分方程为(y+2xy²)dx+(x-2yx²)dy=0，化为ydx+xdy+2xy²dx-2yx²dy=0，d(xy)+2x²y²(1/x×dx-1/y×dy)=0，d(xy)+2x²y²d(ln|x|-ln|y|)=0，d(xy)+2x²y²d(ln|x/y|)=0，2d(ln|x/y|)=-d(xy)/(x²y²)，2ln|x/y|=1/(xy)+c，微分方程的通解为ln(x²/y²)=1/(xy)+c (c为任意常数)

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桃源县13139879933： 求微分方程2y″+y′ - y=2ex的通解 - ？
舟黛联环： 题目要求的是非齐次线性微分方程的通解,一般都是分成两部分求解.第一,先求齐次线性微分方程的通解;第二,再求非齐次线性微分方程的一个特解.他们的和就是要求的通解.

桃源县13139879933： 求两个微分方程的通解.1…y' - 7y=e的x次方.2…y''+3y'+2y=3xe的x次方.联合都是求通解. - ？
舟黛联环：[答案] 第一题:令p(x)=-7;q(x)=e^x;公式:y=e^(-∫p(x)dx)*[e^(∫p(x)dx)*e^xdx+C]得:y1=(e^x)/8+Ce^(-7x)第二题:特征方程:λ^2+3λ+2=0解得λ=-2或-1.所以y=C1e^-2x+C2e^-x;又因为λ'=1;故y2=x^0*(ax+b)*e^x;并将此方程...

桃源县13139879933： 求微分方程的通解y＂+2y'+5y= 0,y＂ - 4y'+4y=0 - ？
舟黛联环：[答案] (1)y＂+2y'+5y= 0的特征方程为k^2+2k+5= 0,解得两个共轭复根,实部均为-1,复部为正负2,然后套公式,可以得到两个相互独立的特解,再分别乘以任意常数相加,即为所求通解.不好输入,自己写下哈. (2)y＂-4y'+4y=0的特征方程为k^2-4k+4= ...

桃源县13139879933： 微分方程通解 - ？
舟黛联环： 原发布者:我爱物理天文1.一阶齐次线性微分方程的通解其通解形式为非齐次形式:通解为:2.二阶常系数微分方程的通解设特征方程 两根为 .非齐次形式:参考资料:本人大学高数课件

桃源县13139879933： 求下列微分方程的通解 - ？
舟黛联环： (1)y(4)-y=0 其特征方程为t^4=1,t=1, -1, i, -i. 所以通解为y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^ix + C4 e^-ix 其中e^ix和e^-ix利用欧拉公式代换后,可以换个写法: y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos x + C4 sin x (2)y(4)+5y＂-36y=0 特征方程为t^4+5t²-36=0 (t²-4)(t²+9)=0 t=2, -2, 3i, -3i 通解为y=c1e^2x+c2e^(-2x)+C3cos3x+C4sin3x

桃源县13139879933： 求二阶微分方程的通解:(1)y''=cos2x (2)xy''+2y'=0 - ？
舟黛联环：[答案] (1)y''=cos2x,积分2次: y'=(1/2)sin2x+C1 y''=(-1/4)COS2x+C1x+C2 (2)xy''+2y'=0 y'=p xp'+2p=0 解得p=C1/x^2 y'=C1/x^2 y=-C1/x+C2=C/x+C2

桃源县13139879933： 二阶微分方程通解公式,就是有特征方程的那个 - ？
舟黛联环：[答案] 举一个简单的例子: y''+3y'+2y = 1 (1) 其对应的齐次方程的特征方程为: s^2+3s+2=0 (2) 因式分 (s+1)(s+2)=0 (3) 两个根为: s1=-1 s2=-2 (4) 齐次方程的通 y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5) 非奇方程(1)的特 y* = 1/2 (6) 于是(1)的通解为: y=y1+y* = ...

桃源县13139879933： 求下列两个微分方程的公共解 y'=y^2+2x - x^4,y'=2x+x^2+x^4 - y - y^2 - ？
舟黛联环：[答案] y'=y^2+2x-x^4 (1) y'=2x+x^2+x^4-y-y^2 (2) (1)(2)联立(右边=右边)得 2y^2+y=x^2+2x^4 y(2y+1)=x^2(1+2x^2) (3) 观察(3)式,不难得到 y=x^2 可以验证同时满足1,2式,得解.